Арифметические действия над сходящимися последовательностями

Доказательство. ►Из условия теоремы вытекает, что , а , где и - бесконечно малые последовательности. Поэтому , причем - бесконечно малая последовательность (как сумма бесконечно малых).◄

Переход к пределу в неравенствах

Доказательство. ►Рассмотрим последовательность . Эта последовательность сходящаяся , кроме того, при . Покажем, что . Возьмем и выберем номер такой, что при , то есть .

Предел монотонной последовательности

Доказательство. ►Рассмотрим, для определенности, неубывающую последовательность . Ограниченное сверху множество значений последовательности… Фиксируем произвольное . Из определения точной верхней грани следует, что… Задача. Доказать, что если - невозрастающая ограниченная последовательность, то .

Число е.

. (1) Покажем, что эта последовательность сходящаяся. Теорема. Последовательность (1) имеет конечный предел.