Арифметические действия над сходящимися последовательностями

Теорема. Пусть и . Тогда последовательность также будет сходящейся, причем .

Доказательство. ►Из условия теоремы вытекает, что , а , где и - бесконечно малые последовательности. Поэтому

,

причем - бесконечно малая последовательность (как сумма бесконечно малых).◄

Теорема. Пусть и . Тогда последовательность также будет сходящейся, причем .

Доказательство. ►Из условия теоремы вытекает, что , а , где и - бесконечно малые последовательности. Поэтому

.

Последовательности бесконечно малые как произведение бесконечно малой на ограниченную и произведение бесконечно малых последовательностей. Тогда бесконечно малая как сумма бесконечно малых..◄

Для доказательства теоремы о пределе частного нам понадобится следующее свойство сходящихся последовательностей.

Лемма. Пусть , причем . Тогда последовательность ограничена.

Доказательство. ►Возьмем и найдем номер , после которого . Для всех номеров будет справедлива оценка

, ,

а значит, для этих номеров . Тогда для всех номеров будет справедливо

,

что означает ограниченность последовательности .◄

Теорема. Пусть и . Тогда последовательность также будет сходящейся, причем .

Доказательство. ►Из условия теоремы вытекает, что , а , где и - бесконечно малые последовательности. Поэтому

.

Последовательность , очевидно, бесконечно малая, а, следовательно, .◄

Пример. .