Число е.

Рассмотрим числовую последовательность

. (1)

Покажем, что эта последовательность сходящаяся.

Теорема. Последовательность (1) имеет конечный предел.

Доказательство. ►Убедимся сначала, что последовательность (1) возрастающая. Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

=

. (2)

Видим, что с ростом увеличивается как число положительных слагаемых, так и величина каждого слагаемого (так как ), то есть последовательность (1) монотонно возрастает.

Покажем теперь, что последовательность (1) является ограниченной. Из (2) следует

.

Итак, наша последовательность монотонна и ограничена, следовательно, по теореме Вейерштрасса она имеет предел.◄

Пределом последовательности (1) является число, обозначаемое буквой , оно играет в анализе роль столь же важную как, например, единица в арифметике или в геометрии.

Число иррациональное, представляется бесконечной десятичной дробью, а начало его десятичного разложения имеет вид:

Задача. Доказать, что .

Задача. Используя монотонность последовательностей и , докажите неравенства.

Задача. Пользуясь неравенствами предыдущей задачи, докажите, что

.