Абсолютная сходимость несобственных интегралов.

Определение. Говорят, что несобственный интеграл сходится абсолютно, если сходится интеграл .

Утверждение. Если интегралсходится абсолютно, то он сходится.

Доказательство. Достаточно проверить признак Коши для сходимости интеграла :

.

Определение. Если несобственный интеграл сходится, но не абсолютно, то говорят, что он сходится условно.

Задача. Доказать, что интегралы сходятся абсолютно.

Утверждение. Интегралы при сходятся условно.

Доказательство.

,

а поскольку , то интеграл сходится.

Покажем, что сходимость не абсолютная. Учитывая, что , имеем

.

Поскольку первый интеграл при расходится, а второй сходится при всех , исходный интеграл расходится.