Геометрический, физический, механический смысл определенного интеграла
ТЕМА «ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ»
ЛЕКЦИЯ № 6
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ПЛАН
1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
2. Интегральная сумма. Определенный интеграл.
3. Геометрический, физический, механический смысл определенного интеграла.
4. Свойства определенного интеграла.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции
Пусть дана непрерывная неотрицательная функция . Определение. Плоская фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу – отрезком оси Ох, слева и справа прямы-Работа переменной силы
Пусть материальная точка М перемещается по действием силы , направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину , где х – абсцисса движущейся…Масса неоднородного стержня
Рассмотрим отрезок оси Ох и будем считать, что отрезок - это материальный стержень, имеющий определенную массу, у которого всеми размерами, кроме… Определение. Плотностью прямолинейного стержня называется количество массы, приходящейся на единицу его длиныИнтегральная сумма. Определенный интеграл
Рассмотрим на отрезке непрерывную функцию , принимающую неотрицательные значения . Выполним следующие действия: 1. С помощью точек , где , разобьем отрезок на n-частичных отрезков .Геометрический смысл определенного интеграла
Исходя из задачи о площади криволинейной трапеции, получаем геометрический смысл определенного интеграла: площадь криволинейной трапеции, ограничен- ной сверху кривой , снизу отрезкомФизический смысл определенного интеграла
Возвращаясь к задаче о работе переменной силы, получаем физический смысл определенного интеграла: работа переменной силы , величина которой есть… . (19)Механический смысл определенного интеграла
На основании задачи о массе неоднородного стержня, имеем механический смысл определенного интеграла: масса m неоднородного стержня на отрезке равна… . (20)Свойства определенного интеграла
Рассмотрим основные свойства определенного интеграла, считая, что подынтегральные функции и интегрируемы на отрезке . 1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых.
Так в случае двух слагаемых 
.
Замечание. Свойства 1 и 2 характеризуют свойство линейности определенного интеграла.