Элементы линейной, векторной алгебры и аналитической геометрии

Министерство образования и науки российской федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ

 

 

 

КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ

По дисциплине «Математика» 1 семестр

Для студентов заочной формы обучения

Направления Менеджмент

Раздел №1 «Элементы линейной, векторной алгебры и аналитической геометрии»

Волгодонск

Линейные (векторные) пространства.

1) сложение: для любых х, у Є L сумма (х + у) Є L, 2) умножение на число: для любого х Є L и любого числа λ произведение λх Є L,

Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства.

Определение: Вектор α1 а1+ α2 а2+…+ αn аn Є L, где αi (i = 1,…,n) - числа, называется линейной комбинацией (ЛК) векторов а1, а2,… Определение: Система векторов линейного пространства а1, а2, а3, … аn Є L… α1 а1+ α2 а2+α3 а3+…+ αn аn=0 тогда и только тогда, когда коэффициенты

Теоремы о линейно зависимых системах векторов линейного пространства.

Для того чтобы система векторов линейного пространства была линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы какой-нибудь вектор этой системы был… Док-во: Необходимость ( ). Дана ЛЗ система. Нужно доказать, что один вектор ЛК всех остальных.

Размерность и базис линейного пространства.

Другими словами, размерность ЛП - это максимальное количество ЛНЗ векторов, помещающихся в этом пространстве. Определение: Любые n ЛНЗ векторов ЛП размерности n l1, l2, ... ,ln называются… Примеры:

Теорема о разложении вектора по базису.

Док-во: Рассмотрим ЛП размерности n с базисом l1, l2, ... ,ln. Вектор а Є ЛП. Система векторов l1, l2, ... ,ln, а содержит (n+1) вектор, а… α1 l1+ α2 l2+ ... +αn ln+αn+1a = 0, причем среди… Покажем, что коэффициент αn+1 ≠ 0 от противного. Допустим, что αn+1 = 0. Тогда α1 l1+ α2 l2+…

Координаты вектора в данном базисе. Операции с векторами в координатной форме.

Рассмотрим в ЛП размерности n базис l₁, l₂, ... ,l_n. Любой вектор ЛП разлагается в линейную комбинацию базиса х = α₁ l₁+ α₂ l₂+ ... +α_n l_n (по теореме о разложении по базису), х Є ЛП.

Определение: Упорядоченный набор чисел, участвующий в разложении вектора по базису (α_1, α_2,… α_n) называется координатами этого вектора в данном базисе.

х =(α_1, α_2,… α_n) – координаты вектора ЛП.

Операции:

1) Для того, чтобы сложить два вектора ЛП в координатной форме нужно сложить их соответствующие координаты.

Док-во: Возьмем два вектора ЛП.

+

х =(α_1, α_2,… α_n)= α₁ l₁+ α₂ l₂+ ... +α_n l_n

у = (β_1, β₂, … β_n)= β₁ l₁+ β₂l₂+…+β_n l_n

 

х + у = (α₁ +β₁, α₂ +β_2,… α_n +β_n) = (α₁ + β₁)l₁+(α₂ + β₂)l₂+…+(α_n +β_n) l_n.

Ч.т.д.

2) Чтобы вектор в координатной форме умножить на число нужно каждую координату умножить на это число.

Док-во: х =(α_1, α_2,… α_n)= α₁ l₁+ α₂ l₂+ ... +α_n l_n.

λ х = (λ₁α_1, λ₂α_2,… λ_nα_n)= λ₁α₁ l₁+ λ₂α₂ l₂+ … +λ_nα_n l_n.

Ч.т.д.

Евклидово пространство.

1° x•y=y•x; 2° (lx)• y= l(x•y); 3° x•(y + z)= x•y + x•z;

Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе.

Определение: Базис Евклидова пространства l1, l2, ... ,ln называется ортонормированным, если векторы l1, l2, ... ,ln попарно ортогональны и длина… . Пусть вектора x, y заданы своими координатами в ортонормированном базисе l1, l2, ... ,ln:

Декартовая система координат.

  l3 l2 z …  

Координаты точки, радиус- вектор точки, произвольные вектора. Длина вектора.

М   α N

АВ= (x2- x1, , y2- y1, z2- z1).

Пример. Даны 3 точки т. А(2,-1,3), т. В(4,0,1), т. С(-1,2,1). Найти АВ и его длину │АВ│, m= AB- 2BC.

 

Проекция вектора на ось.

Через т. А и т. В проведем плоскости перпендикулярныеоси l, и найдем точки пересечения плоскости с осью. Перенесем вектор АВ в точку А1. А1В1(проекция)=АВ. Из прямоугольного… │АВ│· cos φ= прl AB.

Теоремы о проекциях.

Теорема 1. пр_l(а + b)= пр_l a + пр_l b.

 

Теорема 2. пр_l (λа)= λ пр_l а.

 

Связь между координатами вектора и проекциями вектора на координатной оси.

прOY АВ= y1- y2, прOX АВ= x1- x2, прOZ АВ= z1- z2. Вывод: проекции вектора на координатные оси совпадают с координатами…  

Условие коллинеарности двух векторов.

Возьмем два коллинеарных вектора а= (ах, ау, аz) ║b= (bx, by, bz). b= λa. В координатной форме:

Скалярное произведение векторов.

Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число равное произведению длин этих векторов (модулей) на косинус угла между векторами.

По определению: a • b= │a│·│b│· cos φ.

, .

,.

- связь между скалярным произведением и проекцией вектора на вектор.

Свойства скалярного произведения.

a • b= │a│·│b│· cos φ= │b│·│a│· cos φ= b • a.   2° условие перпендикулярности: a • b= 0, т.к. a ┴ b или a или b= 0.

Скалярное произведение координатных ортов.

i × j= 0, так как i ^ j (из 2°);

i × k= 0, так как i ^ k (из 2°);

k × j= 0, так как k ^ j (из 2°);

i × i=│i│² = 1²=1;

j × j=│j│² = 1²=1;

k × k=│k│² = 1²=1.

 

Скалярное произведение в координатной форме.

Возьмем два вектора в координатной форме

a • b= (axi + ayj + azk )•( bxi + byj + bzk)= axi•bxi + axi•byj + axi •bzk + ayj• bxi + + ayj• byj + ayj •bzk + azk •bxi + azk•byj + azk •bzk = ax bx i• i + ax by i•j… +ay bx i• j + ay by j• j + ay bz i• k + az bx i•k + az by k• j + az bz k•k=

A • b= ax bx + ay by + az bz.

 

Приложения скалярного произведения.

1) Угол между векторами:

.

Ðj - острый, cos j> 0, отсюда следует, что a • b> 0.

Ðj - тупой, cos j< 0, отсюда следует, что a • b< 0.

Ðj= 90°, cos j= 0, отсюда следует, что a • b= 0.

 

2) Проекция вектора на вектор:

.

 

Векторное произведение двух векторов.

1° │с│=│a│·│b│·sin φ, где Ðj= a,b; 2° вектор c ^ a, c ^b, т.е. с ^ плоскости, в которой лежат вектора а и b; 3° кратчайший поворот от вектора a к b, видимый с конца вектора с будет против часовой.

Векторные произведения координатных ортов.

Если первый орт умножить векторно на второй орт, то по стрелке получим третий орт, причем взятый с «+», если поворот против часовой стрелки, и… i´j= k, i´k= -j,

Векторное произведение в координатной форме.

+ay bx j×i + ay by j×j + ay bz j×k + az bx k×i + az by k× j + az bz k×k= = ax by k – ax bz j- -ay bx k+ ay bz i+ az bx j - az by i= = i(ay bz - azby )- j( ax bz - az bx)+ k(ax by - ay bx )=

Приложения векторного произведения.

1) Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b, как на сторонах, численно равна модулю векторного произведения a ´ b.

S_пар=│a ´ b│.

Из геометрии: S_пар=│a│·│b│sin φ.

Так как │a ´ b│= │a│·│b│sin φ, отсюда следует, что S_пар=│a ´ b│.

Следствие: из геометрии S_пар=│a·│h_a, ,

где h_a – высота, проведенная к стороне a.

2) .

ha

 

3) a║b. Отсюда следует, что a´b=0 (из условия коллинеарности двух векторов).

b

а

b

а

Ðj= 0°, sin 0°= 0   Ðj=180°, sin 180°= 0

│a´b│= │a│·│b│sin φ= 0,

│a´b│= 0.

Смешанное произведение трех векторов.

По определению: abc. Чтобы вычислить смешанное произведение нужно: 1) вектор умножить векторно на : a´b= вектор;

Смешанное произведение в координатной форме.

а= (ах, ау, аz)= axi + ayj + azk; b= (bx, by, bz)= bxi + byj + bzk; с= (сx, сy, сz) = cxi + cyj + czk.

Приложения смешанного произведения.

1) Модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на трех векторах как на ребрах.

V_парал= │abc│.

Из геометрии: V_парал= S_осн· h.

S_осн= S_пар=│a´b│.

Из приложения векторного произведения:

h=│с│·cos φ.

V_парал= │ a´b │·│c│·cos φ =│(a´b) • с│=│abc│.

Следствие: высота параллелепипеда h= .

2) V_тетр= V_парал=│abc│.

Из геометрии: V_тетр= S_осн· h; h_тетр= .

3) Если смешанное произведение abc>0, то тройка векторов правая; если abc<0, то тройка векторов левая.

abc= (a´b) • с = │a´b│·│c│·cos φ.

abc>0, cos φ >0, Ðj- острый, abc - правая тройка.

abc<0, cos φ <0, Ðj- тупой, abc - левая тройка.

 

4) abc – компланарные, если параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости.

 

Условие компланарности: abc=0.

a´b ^ плоскости α.

a´b ^ с, (a´b) • с = 0 (условие перпендикулярности двух векторов), abc=0.

 

 

Задание вектора в пространстве.

Любой вектор в пространстве имеет длину и направление.

Длина вектора │а│= .

Направление вектора задают три направляющих косинуса: cos α, cos β, cos γ, где Ðα- угол между и ОХ, Ðβ- угол между a и ОУ, Ðγ- угол между a и OZ.

i

β

y

O

х

j

γ

k

z

α

Ðα= Ð (a,i), Ðβ=Ð (a,j), Ðγ =Ð (a,k).

cos α= , cos β= , cos γ= .

Свойство направляющих косинусов:

cos² α+ cos² β+ cos² γ= 1.

Определение: Единичный вектор, имеющий своими координатами направляющие косинусы вектора a называется единичным вектором направления а и обозначается a₀= (cosα, cosβ, cosγ).

а

а0

 

Аналитическая геометрия.

Плоскость в пространстве.

N= (A, B, C). Пусть т. М0 (x0, y0, z0) - произвольная фиксированная точка плоскости… т. М (x, y, z) - произвольная нефиксированная точка плоскости α (текущая).

Анализ общего уравнения.

Скалярное произведение: N• i= 0· 1+ B· 0+ C· 0= 0. ⇒ N ^ i, N ^ OX. Т.о. плоскость параллельна оси OX , т.е. α ║OX . Аналогично, В=0, нет у, плоскость α║ОУ;

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.

Пусть т. М1(x1, y1, z1), т. М2 (x2, y2, z2), т. М3(x3, y3, z3) Є плоскости. Пусть т. М (x, y, z) - текущая точка плоскости. M М1 М2 …

Уравнение плоскости в отрезках.

Тогда т. А (а, 0, 0), т. В (0, b, 0), т. C (0, 0, c) Є плоскости. Тогда вектора AM (x- a, y, z), AB(-a, b, 0), AC(-a, 0, c) компланарны. Отсюда… .

Взаимное расположение двух плоскостей.

Отсюда следует, что ║ . Координаты коллинеарных векторов пропорциональны. - условие параллельности двух плоскостей. Если , то такие плоскости будут совпадать.

Прямая в пространстве.

l= (m; n; p) ║прямой. Пусть т. М0 - произвольная фиксированная точка прямой, т. М - текущая фиксированная точка прямой.

Общее уравнение прямой в пространстве.

  - общее уравнение прямой в пространстве. Замечание: такое задание прямой неоднозначно.

Переход от одних уравнений прямой к другим.

.   2) От параметрических к каноническим.

Взаимное расположение прямых в пространстве.

l2 l1 l1 ║ l2. Отсюда следует, что - условие параллельности двух прямых в…  

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

N= (A, B, C), и прямую а с уравнением , l= (m; n; p). Возможны следующие случаи расположения: 1) Прямая ^ плоскости.

Расстояния между различными объектами в пространстве.

Найдем расстояние от т. М0 (x0, y0, z0) до плоскости Ax+By+Cz+D=0. Расстояние от точки до плоскости - это длина перпендикуляра, опущенного из точки… . а) Составим параметрические уравнения прямой:

Прямая на плоскости.

М (х, у) l=(m, n) а …  

Взаимное расположение прямых на плоскости.

Кривые второго порядка.

Общее уравнение . Будем рассматривать окружность, эллипс, гиперболу, параболу.

 

Окружность.

Пусть центр окружности С (а, b) и радиус равен R, т. М (х, у)- текущая точка. b … По определению │СМ│=R.

Эллипс.

Расположим эллипс так, чтобы фокусы находились на оси ОХ на одинаковом расстоянии от начала координат. Обозначим расстояние между фокусами… y c … F1 (-c, 0) - левый фокус, F2 (с, 0) - правый фокус.

Гипербола.

Расположим гиперболу так, чтобы фокусы находились на оси ОХ на одинаковом расстоянии от начала координат. │F1F2│=2c. y c -c …

Парабола.

Расположим параболу так, чтобы начало координат находилось посредине между F и директрисой, причем фокус лежал на оси ОХ. Обозначим расстояние между F и директрисой - p. Фокус: F( ).

Сфера в пространстве.

Пусть центр сферы С(a, b, c), радиус R, т. М (х, у, z) - текущая точка сферы. По определению: │СМ│= R.