Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе. - раздел Математика, Элементы линейной, векторной алгебры и аналитической геометрии Определение: Два Вектора Евклидова Пространства Называются ...
Определение: Два вектора Евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.
Определение: Базис Евклидова пространства l1, l2, ... ,ln называется ортонормированным, если векторы l1, l2, ... ,ln попарно ортогональны и длина каждого вектора равна 1, т.е.
.
Пусть вектора x, y заданы своими координатами в ортонормированном базисе l1, l2, ... ,ln:
х =(α1, α2,… αn)= α1 l1+ α2 l2+ ... +αn ln, у = (β1, β2, … βn)= β1 l1+ β2l2+…+βn ln.
Найдем их скалярное произведение:
x•y=(α1, α2,… αn)•(β1, β2, … βn)= (α1 l1+ α2 l2+ ... +αn ln)•( β1 l1+ β2l2+…+βn ln)=
= α1 l1 •β1 l1+ α1 l1 •β2l2+…+ α1 l1 •βn ln+ α2 l2 •β1 l1+ α2 l2 •β2l2+…+
+α2 l2 •βn ln+…+ αn ln •β1 l1+ αn ln •β2l2+…+ αn ln •βn ln=
= α1 β1 ( l1 • l1)+ α1 β2(l1 •l2)+…+ α1 βn ( l1 •ln)+ α2 β1(l2 •l1)+ α2 β2(l2 •l2)+…+
+ α2 βn ( l2 •ln)+…+ αn β1(ln •l1)+ αn β2( ln •l2)+…+ αn βn(ln •ln)=
=(учтем, что вектора l1, l2, ... ,ln – ортонормированный базис)=
= α1 β1+ α2 β2+…+ αn βn.
Т.о. скалярное произведение в ортонормированном базисе равно сумме произведений соответствующих координат.
Все темы данного раздела:
Линейные (векторные) пространства.
Определение: Множество L называется линейным (векторным) пространством, если на нем введены две операции:
1) сложение: для любых х, у Є L сумма
Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства.
Дана в линейном пространстве система векторов а1, а2, а3, … аn Є L.
Определение: Вектор α1 а1+ α
Теоремы о линейно зависимых системах векторов линейного пространства.
Теорема 1. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости.
Для того чтобы система векторов линейного пространства была линейно зависимой необходимо и достаточно, чтоб
Размерность и базис линейного пространства.
Определение: Если в ЛП система, состоящая из n векторов ЛНЗ, а любая система с большим количеством векторов ЛЗ, то такое пространство называется n- мерным, а n
Теорема о разложении вектора по базису.
Теорема. Любой вектор ЛП разлагается, причем единственным образом, в ЛК базисных векторов этого пространства.
Док-во: Рассмотрим ЛП размерности n с базисом l1
Евклидово пространство.
Определение: Линейное пространство называется евклидовым, если в нем введена операция скалярного произведения, которая ставит в соответствие любым векторам х и
Декартовая система координат.
Рассмотрим три ненулевых, не коллинеарных вектора в пространстве l1, l2, l3- это базис ЛП V3. Приведем эти векторы к общему началу в точке О
Координаты точки, радиус- вектор точки, произвольные вектора. Длина вектора.
Возьмем в пространстве произвольную точку М(х, у, z). Первая координата х – абсцисса ‒ это проекция т. М на ось ОХ. Вторая у – ордината – это проекция т. М на ось ОУ. Тре
Проекция вектора на ось.
Определение: Проекцией вектора на ось называется число, модуль которого равен проекции на эту ось отрезка, задающего вектор, причем число берется со знаком «+», если
Связь между координатами вектора и проекциями вектора на координатной оси.
проекция
y2
y1
·
A(x1
Условие коллинеарности двух векторов.
а
b
Возьмем два коллинеарных вектора а= (ах, ау, аz) ║b
Свойства скалярного произведения.
1° коммутативность: a • b = b •· a.
a • b= │a│·│b│· cos φ= │b│·│a│· cos φ= b • a.
Возьмем два вектора в координатной форме
а= (ах, ау, аz)= axi + ayj + azk, b= (bx, by, bz)= bxi + byj + bz
Векторное произведение двух векторов.
Определение: Векторным произведением a´b векторов a и b называется третий вектор с, обладающий следующими свойствами:
1°
Векторные произведения координатных ортов.
i
k
j
Если первый орт умножить векторно на второй орт, то по ст
Векторное произведение в координатной форме.
a´b= (axi + ayj + azk)×( bxi + byj + bzk)= ax bx i× i + ax by i&ti
Смешанное произведение трех векторов.
Определение: Смешанным произведением трех векторов a, b, c, взятых в таком порядке называется число, равное (a´b)•с.
По определению: a
Смешанное произведение в координатной форме.
Возьмем три вектора в координатной форме:
а= (ах, ау, аz)= axi + ayj + azk;
b= (bx, by
Плоскость в пространстве.
Определение: Любой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости, называется вектором нормали к этой плоскости.
N= (A, B, C).
Пусть т.
Анализ общего уравнения.
1) А= 0, B, C, D ≠ 0, т.е. нет х, нормаль N=(0, B, C).
Скалярное произведение: N• i= 0· 1+ B· 0+ C· 0= 0. ⇒ N ^ i, N ^ OX.
Т.о. плос
Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.
Аксиома: Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
Пусть т. М1(x1, y1, z1), т. М2
Уравнение плоскости в отрезках.
Пусть плоскость отсекает на координатных осях отрезки a – на оси ОХ, b – на оси ОУ, с – на оси OZ.
Тогда т. А (а, 0, 0), т. В (0, b, 0), т. C (0,
Взаимное расположение двух плоскостей.
1) Плоскость (1) с уравнением параллельна плоскости (2) с уравнением .
Отсюда следует, что ║ . Координаты коллинеарных векторов пропорциональны.
- условие параллельности
Прямая в пространстве.
Определение: Любой ненулевой вектор, параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.
l= (m; n; p) ║прямой.
Пу
Общее уравнение прямой в пространстве.
Прямая может быть задана в пространстве как линия пересечения плоскостей:
- общее уравнение прямой в пространстве.
Замечание: такое задание прямой не
Переход от одних уравнений прямой к другим.
1) От канонических к параметрическим.
.
2) От параметрических к каноническим.
l= (2,-1,3), т. М0= (-1,2,1).
.
Взаимное расположение прямых в пространстве.
1) Прямая (1) c направляющим вектором l1= (m1, n1, p1) ║ прямой (2) c направляющим вектором l2=(m2, n2,
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
Возьмем в пространстве плоскость α с уравнением ,
N= (A, B, C), и прямую а с уравнением , l= (m; n; p).
Возможны следующие случаи расположения:
Расстояния между различными объектами в пространстве.
1) Расстояние от точки до плоскости.
Найдем расстояние от т. М0 (x0, y0, z0) до плоскости Ax+By+Cz+D=0. Расстояние от точки до пло
Прямая на плоскости.
Аналогично тому, как выводились канонические уравнения прямой в пространстве выводятся канонические уравнения прямой на плоскости.
М (х, у)
Взаимное расположение прямых на плоскости.
Каноническое уравнение
Общее уравнение
Ax+ By+ C= 0
Уравнение с угловым
коэффициентом
y= kx+ b
П
Окружность.
Определение: Окружностью называют множество точек плоскости, удаленных от заданной точки (центра окружности) на заданное расстояние (радиус окружности).
Эллипс.
Определение: Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (фокусов), есть величина постоянная, р
Гипербола.
Определение: Гиперболой называют множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная,
Парабола.
Определение: Параболой называют множество точек плоскости, расстояние от каждой из которых до заданной точки (фокуса) равно расстоянию до заданной прямой (д
Сфера в пространстве.
Определение: Сферой называют множество точек пространства, равноудаленных от заданной точки (центр сферы) на заданное расстояние (радиус сферы).
Новости и инфо для студентов