Последовательность. Предел последовательности. - раздел Математика, Предел и производная функции одной переменной
Числовой Последовательностью Называют Бескон...
Числовой последовательностью называют бесконечное упорядоченное множество чисел (перенумерованное множество чисел).
Задают числовую последовательность с помощью общего члена xn.
{xn} - числовая последовательность с общим членом xn.
Например: {xn}={2;3;4;5;…}, xn=n+1;
{an}={1;1/2;1/3;…}, an=1/n ;
{bn}={-1;1;-1;1,…}, bn=(-1)n.
1) Определение (на языке ε): Число a называют пределом числовой последовательности {xn}, при n стремящемся к бесконечности (n®¥), если для любого, сколь угодно малого, положительного числа e, найдется номер последовательности N, зависящий от , начиная с которого выполняется неравенство |xn–a|<e.
Û" e>0 $ N( ): " n>N, выполняется |xn–a|<e.
(a-e; a+e) ‒ e-окрестность точки a.
2) Определение (на языке окрестности): Число a называется пределом последовательности {xn} при n®¥, если для любого сколь угодно малого положительного числа e, найдется такой номер последовательности N, начиная с которого члены последовательности будут находится в e- окрестности точки a.
Пример: Покажем по определению, что пределом числовой последовательности {xn} с общим членом xn= , является число a=0, то есть .
Возьмем сколь угодно малое положительное e. Попробуем найти такой номер последовательности N, начиная с которого выполняется неравенство
| – 0|<e. " e>0 $ N: "n>N выполняется | - 0|<e. Снимаем модуль –0<e. Если перевернуть обе части неравенства, то перевернем знак: n> . В качестве N берется целая часть : N=[ ].
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Последовательность. Предел последовательности.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Основные характеристики функции.
1. Возрастающие и убывающие функции.
Функция y=f(x) называется возрастающей на (а;b), если большему значению аргумента соответствует большее значение функции
Основные элементарные функции.
1. Линейная функция.
y=ax+b, где область определения D=R (множество действительных чисел), E=R.
2. Степенная функция.
Сходящиеся и ограниченные последовательности.
Определение: Последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел.
- число.
В противном случае последовательность назыв
Связь между ними.
Определение: Последовательность {xn} называется бесконечно малой, если для любого, сколь угодно малого, положительного числа e, найдется номер последовательности N
Свойства сходящихся последовательностей.
1. Единственность.
Теорема: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
2. Арифметические действия.
Теорема: Есл
Предел функции.
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть самой точки.
1) Определение предела функции на языке :
Число А н
Единственность предела функции.
Теорема: Если функция имеет предел при x®a, то он единственен.
Док-во: Предположим противное. Пусть у функции существуют два предела при x®a и . Возьмем e>
Иx свойства.
Определение: Функция a(x) называется бесконечно малой при x®x0, если .
Обозначается a(x) – б/м при x®x0.
Функция a(x)
Свойства.
1. Сумма двух или конечного числа б/м есть бесконечно малая.
2. Произведение двух или конечного числа б/м есть бесконечно малая.
3. Произведение б/м на ограниченную функцию есть б
Первый замечательный предел.
Доказательство:
Рассмотрим единичную окружность и отложим бесконечно малый угол x.
х
у
Второй замечательный предел.
Доказательство:
Вспомним число как предел числовой последовательности:
I случай.
Пусть х>1, возьмем n=[x] – целая часть ч
Сравнение бесконечно малых.
Рассмотрим отношение двух б/м a(x) и b(x), т.е. a(x) и b(x) ®0 при x®x0.
Определение: Если , тогда б/м a(x) и b(x) называются б/м одного порядка м
Непрерывность функции.
Пусть функция y=f(x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности.
Определение 1: Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0
Свойства непрерывных функций.
1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций являются непрерывной функцией.
Док-во:
Докажем непрерывность суммы непрерывных функций.
П
Теоремы о непрерывных функциях.
Теорема 1. (о сохранении знака непрерывной функции).
Пусть функция f(x) определена и непрерывна на (а;b) и в точке х0 значение функции f(x0) 0.
Производная функции одной переменной.
Определение: Пусть функция y=f(x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности. Дадим x0 приращение Dx так, чтобы точка принадлежала указанной окрес
Геометрический смысл производной.
На графике функции возьмем точку М0 с координатами (x0,y0) и точку N с координатами ( ; ). Проведем через эти точки секущую.
x0
Правила вычисления производной.
1. .
Док-во:
Дадим x приращение Dx, . Тогда функция получит приращение Dy. Отсюда . Так как , то . Þ (C)¢=0.
Ч.т.д.
2. Если фун
Производная функции, заданной параметрически.
Функция задана параметрически, если зависимость y от x осуществляется с помощью параметра t: , где tÎT.
Пример: — параметрическое уравнение окружности с центро
Дифференциал функции.
Пусть функция определена в точке x0 и ее окрестности. Дадим x0 приращение Dx, тогда функция получает приращение Dy: , где А - число, a(Dx) - б/м более высокого порядка малости
Применение дифференциала.
Приложение дифференциала к приближенным вычислениям.
Из рисунка видно, что приращение функции Dy и дифференциал dy связаны приближенным равенством Dy » dy. Поэтому с помощью дифференциала
Производная высших порядков.
Пусть функция имеет производную в каждой точке некоторого интервала. - также является функцией от x, следовательно, ее тоже можно продифференцировать. - производная второго порядка или вторая произ
Уравнение касательной и нормали к кривой.
Из пучка прямых, проходящих через точку , выберем одну прямую — касательную к графику функции: . Из геометрического смысла производной угловой коэффициент касательной: .
Þ .
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов