Вибір методів аналізу в часовій області - раздел Математика, Основи автоматизованого проектування Аналіз Процесів У Проектованих Об'єктах Можна Робити В Часовій І Частотній Об...
Аналіз процесів у проектованих об'єктах можна робити в часовій і частотній областях. Аналіз у часовій області (динамічний аналіз) дозволяє одержати картину перехідних процесів, оцінити динамічні властивості об'єкта, він є важливою процедурою при дослідженні як лінійних, так і нелінійних систем.
Методи аналізу в часовій області, використовувані в універсальних програмах аналізу в САПР, — це чисельні методи інтегрування систем звичайних диференціальних рівнянь (СЗДР):
Інакше кажучи, це методи алгебраізації диференціальних рівнянь. Формули інтегрування СЗДР можуть входити в математичну модель (ММ) незалежно від компонентних рівнянь або бути інтегрованими в ММ компонентів, як це виконано у вузловому методі.
Від вибору методу рішення СЗДР істотно залежать такі характеристики аналізу, як точність і обчислювальна ефективність. Ці характеристики визначаються насамперед типом і порядком обраного методу інтегрування СЗДР.
Застосовують два типи методів інтегрування — явні методи (інакше екстраполяційні або методи, засновані на формулах інтегрування вперед), і неявні методи (інтерполяційні, засновані на формулах інтегрування назад). Розходження між ними зручно показати на прикладі найпростіших методів першого порядку — методів Ейлеру.
Формула явного методу Ейлеру являє собою наступну формулу заміни похідних у точці :
Тут індекс дорівнює номеру кроку інтегрування; — розмір кроку інтегрування (звичайно називають просто кроком інтегрування). У формулі неявного методу Ейлеру використане диференціювання назад:
де .
Виконаємо порівняльний аналіз явних і неявних методів на прикладі модельної задачі:
(3.8)
при ненульових початкових умовах і при використанні методів Ейлера з постійним кроком . Тут — постійна матриця; — вектор фазових змінних.
При алгебраізації явним методом маємо
або де — одинична матриця. Вектор можна виразити через вектор початкових умов :
(3.9)
Позначимо
(3.10)
і застосуємо перетворення подоби для матриці
Тут — перетворююча матриця; — діагональна матриця із власними значеннями матриці на діагоналі. Неважко бачити, що
З лінійної алгебри відомо, що власні значення матриць, зв'язаних арифметичними операціями, виявляються зв'язаними такими ж перетвореннями. Тому з (3.10) треба
Точне рішення модельної задачі (3.8) , отже, умовою стійкості процесу чисельного рішення можна вважати
звідки послідовно одержуємо
у зв’язку з тим, що , та , оскільки , та й умова стійкості
(3.11)
Відомо, що для фізично стійких систем власні значення матриці коефіцієнтів у ММС виявляються зі знаком мінус. Якщо до того ж всі вещественні величини (характер процесів у ММС із моделлю (3.8) аперіодичний), то природно визначити постійні часу фізичної системи як
і умова (4) конкретизується в такий спосіб
або
(3.12)
де — мінімальна постійна часу. Якщо використати явні методи більш високого порядку, то може збільшитися коефіцієнт перед в (3.12), але це принципово не міняє оцінки явних методів.
Якщо порушено умову (3.12), то відбувається втрата стійкості обчислень, а це означає, що в рішенні задачі виникають помилкові коливання з амплітудою, що збільшується від кроку до кроку, і швидким аварійним остановом ЕОМ внаслідок переповнення розрядної сітки. Звичайно, ні про яку адекватність рішення говорити не доводиться.
Для дотримання (3.12) застосовують ті або інші алгоритми автоматичного вибору кроку. Відзначимо, що в складній моделі розрахунок для безпосереднього вибору кроку по (3.12) занадто трудомісткий, крім того, однократний розрахунок мало ефективний, тому що в нелінійних моделях може змінюватися від кроку до кроку.
Умова (3.12) накладає жорсткі обмеження на крок інтегрування. У результаті обчислювальна ефективність явних методів різко падає з погіршенням обумовленості ММС. Справді, тривалість моделюємого процесу повинна бути порівнянною із часом заспокоєння системи після збудливого впливу, тобто порівнянна з максимальною постійною часу . Необхідне число кроків інтегрування дорівнює
Відношення називають розкидом постійних часу або числом обумовленості. Більше строго число обумовленості матриці визначається як , а число обумовленості системи рівнянь як Чим більше це число, тим гірше обумовленість. Спроби застосування явних методів до різних ММС найчастіше приводять до неприпустимо низької обчислювальної ефективності, оскільки в реальних моделях — звичайна ситуація. Тому в цей час в універсальних програмах аналізу явні методи рішення СЗДР не застосовують.
Аналогічний аналіз числової стійкості неявних методів дає наступні результати. Замість (3.9) маємо
і умова числової стійкості приймає вид:
яке виконується при будь-яких . Отже, неявний метод Ейлера має так називану A-стійкість.
Метод інтегрування СЗДР називають A-стійким, якщо погрішність інтегрування залишається обмеженою при будь-якому кроці .
Застосування A-стійких методів дозволяє істотно зменшити необхідні числа кроків . У цих методах крок вибирається автоматично не з умов стійкості, а тільки з міркувань точності рішення.
Вибір порядку методу рішення СЗДР досить простий: по-перше, більше високий порядок забезпечує більше високу точність, по-друге, серед неявних різницевих методів, крім методу Ейлеру, A-стійкі також методи другого порядку й серед них – метод трапецій. Тому переважне поширення в програмах аналізу одержали методи другого порядку – модифікації методу трапецій.
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ МОЛОДІ та СПОРТУ УКРАЇНИ... Одеський технічний коледж... Одеської національної академії харчових технологій...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Вибір методів аналізу в часовій області
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Вимоги до технічного забезпечення САПР
Технічне забезпечення САПР містить у собі різні технічні засоби (hardware), використовувані для виконання автоматизованого проектування, а саме обчислювальні системи, ЕОМ (комп'ютери), периферійні
Процесори ЕОМ
Призначення процесора — керування обчислювальним процесом і обробка даних відповідно до заданої програми. Процесори можуть бути універсальними, здатними вирішувати широке коло задач і спеціа
Процесори ЕОМ
Призначення процесора — керування обчислювальним процесом і обробка даних відповідно до заданої програми. Процесори можуть бути універсальними, здатними вирішувати широке коло задач і спеціа
Монітори
У більшості сучасних моніторів використовуються електронно-променеві трубки, у яких світіння шару люмінофора, яким покритий екран, відбувається під дією його опромінення потоком електронів,
Периферійні пристрої
Периферійні пристрої комп'ютерів ділять на пристрої вводу, пристрою виводу й зовнішні запам'ятовувальні пристрої. До пристроїв вводу відносяться клавіатура, миша, сканер, дигітайзер.
Периферійні пристрої
Периферійні пристрої комп'ютерів ділять на пристрої вводу, пристрою виводу й зовнішні запам'ятовувальні пристрої. До пристроїв вводу відносяться клавіатура, миша, сканер, дигітайзер.
Типи обчислювальних машин і систем
Комп'ютери (ЕОМ) і обчислювальні системи (ОС) прийнято класифікувати по ряду ознак.
Залежно від продуктивності й вартості обчислювального встаткування виділяють кілька типів ЕОМ і ОС, прич
Вимоги до математичних моделей і методів у САПР
Основними вимогами до математичних моделей є вимоги адекватності, точності, економічності.
Модель завжди лише приблизно відбиває деякі властивості об'єкта. Адекватність має
Вихідні рівняння для формування моделей на макрорівні
Вихідний математичний опис процесів в об'єктах на макрорівні представлено системами звичайних диференціальних і алгебраїчних рівнянь. Аналітичні рішення таких систем при типових зна
Механічні системи
Фазовими змінними в механічних поступальних системах є сили й швидкості. Використовують одну із двох можливих електромеханічних аналогій. Надалі будемо використати ту з них, у якій
Методи рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь
У програмах аналізу в САПР для рішення СЛАР найчастіше застосовують метод Гауса або його різновиду. Метод Гауса — метод послідовного виключення невідомих із системи рівнянь. При виключенні
Методи рішення систем нелінійних алгебраїчних рівнянь
Обчислення при рішенні СНАР складаються з декількох вкладених один в іншій циклічних процесів. Зовнішній цикл – цикл покрокового чисельного інтегрування, параметром циклу є номер кроку. Якщо модель
Аналіз у частотній області
Аналіз у частотній області більш специфічний у порівнянні з аналізом у часовій області. Його застосовують, як правило, до об’єктів з лінеаризуємимі ММ при дослідженні коливальних стаціонарни
Багатоваріантний аналіз
Одноваріантний аналіз дозволяє одержати інформацію про стан і поводження проектованого об’єкта в одній точці простору внутрішніх
Математичні моделі для аналізу на мікрорівні
Математичними моделями на мікрорівні є диференціальні рівняння в частинних похідних або інтегральні рівняння, що описують поля фізичних величин. Інакше кажучи, на мікрорівні використаються модел
Методи аналізу на мікрорівні
У САПР рішення диференціальних або інтегро-диференціальних рівнянь із частковими похідними виконується чисельними методами. Ці методи засновані на дискретизації незалежних змінних – їхньому предста
Метод скінченних елементів для аналізу механічної міцності
Як вихідне положення в методі скінченних елементів приймають варіаційний принцип Лагранжа (принцип потенційної енергії), відповідно до якого рівноважний стан, у який може прийти система, характериз
Типи геометричних моделей
Підсистеми машинної графіки й геометричного моделювання займають центральне місце в машинобудівних САПР. Конструювання виробів у них, як правило, проводиться в інтерактивному режимі при оперуванні
Типи геометричних моделей
Підсистеми машинної графіки й геометричного моделювання займають центральне місце в машинобудівних САПР. Конструювання виробів у них, як правило, проводиться в інтерактивному режимі при оперуванні
Системи ERP
Функції автоматизованих систем керування підприємством (АСКП) у різних сполученнях поєднуються в кілька груп, відповідно з'являються різновиди АСКП з назвами ERP, MRP, MES, SCM і ін. Звичайн
Стандарт MRP II
Під MRP розуміють методологію ефективного планування ресурсів виробничого підприємства, включаючи бізнес-планування, планування продажів і операцій, планування виробництва, формування головн
Підсистеми ERP
Типовий склад підсистем ERP:
· керування запасами;
· керування постачанням; реалізує наступні функції: формування замовлень на закупівлю; графіка поставок; планування потре
Логістичні системи
Складність задач керування, які доводиться вирішувати в сучасних виробничих системах, обумовлює інтерес до логістики й розвитку логістичних систем. Традиційно логістику зв'язували з керуванн
Системи SCM
Системи SCM призначені для забезпечення ефективного керування матеріальними й відповідними їм інформаційними потоками: від постачальників сировини й комплектуючих через виробництво до продаж
CRM - системи взаємин із замовниками
Система CRM — це система, на вхід якої надходять дані, пов'язані із клієнтами компанії, а на виході з'являється інформація, що впливає на поводження компанії в цілому або на поводження її ок
Типи САПР в області машинобудування
Серед CAD-систем розрізняють системи нижнього, середнього й верхнього рівнів. Цей поділ виник на рубежі 80-90-х років минулого століття. Системами нижнього рівня (або легкими системами) стали назив
Основні функції CAD-систем
Функції CAD-систем у машинобудуванні підрозділяють на функції двомірного (2D) і тривимірного (3D) проектування. До функцій 2D відносять креслення, оформлення конструкторської документації; до функц
Основні функції CAE-систем
Функції CAE-систем досить різноманітні, тому що пов'язані із проектними процедурами аналізу, моделювання, оптимізації проектних рішень. До складу машинобудівних CAE-систем насамперед включаю
Основні функції CAM-систем
Основні функції CAM-систем: розробка технологічних процесів, синтез керуючих програм для технологічного встаткування із ЧПК, моделювання процесів обробки, у тому числі побудова траєкторій ві
Прототипування
Прототипування — виготовлення прототипів деталей або шаблонів, по яких деталі будуть виготовлятися. Прототипування в CAD/CAM – безпосередня реалізація розробленої геометричної моделі.
Огляд машинобудівних САПР
Як правило, машинобудівні САПР мають багатомодульну структуру. Типовий поділ модулів на групи програм конструкторського проектування механічних об'єктів, промислового дизайну, інженерного аналізу (
Типи CASE-систем
У сучасних інформаційних технологіях важливе місце приділяється інструментальним засобам і середовищам розробки АС, зокрема, системам розробки й супроводу їх ПЗ. Ці технології й середовища утворюют
Специфікації проектів програмних систем
Важливе значення в процесі розробки ПЗ мають засоби специфікації проектів ПЗ. Засоби специфікації значною мірою визначають суть методів CASE.
Способи й засоби специфікації класифікують по
Програмне забезпечення CASE-систем
На ринку програмних продуктів є багато CASE-систем для концептуального проектування АС.
Найчастіше в них підтримується методологія IDEF. Широко відомі програми BPwin, ERwin, OOwin фірми Pl
ЛІТЕРАТУРА
Автоматизация инженерно-графических работ/ Г.Красильникова, В.Самсонов, С.Тарелкин – СПб: Издательство «Питер», 2000.-256 с. Басов К.А. ANSYS в приме
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
:
— розмір кроку інтегрування (звичайно 
називають просто кроком інтегрування). У формулі неявного методу Ейлеру використане диференціювання назад:
.
і при використанні методів Ейлера з постійним кроком 
. Тут 
— постійна матриця; 
— вектор фазових змінних.
— одинична матриця. Вектор 
можна виразити через вектор початкових умов 
:
— перетворююча матриця; 
— діагональна матриця із власними значеннями 
матриці 
, отже, умовою стійкості процесу чисельного рішення можна вважати
, та 
, оскільки 
, та 
й умова стійкості
вещественні величини (характер процесів у ММС із моделлю (3.8) аперіодичний), то природно визначити постійні часу фізичної системи як
— мінімальна постійна часу. Якщо використати явні методи більш високого порядку, то може збільшитися коефіцієнт перед 
моделюємого процесу повинна бути порівнянною із часом заспокоєння системи після збудливого впливу, тобто порівнянна з максимальною постійною часу 
. Необхідне число кроків інтегрування дорівнює
називають розкидом постійних часу або числом обумовленості. Більше строго число обумовленості матриці 
визначається як 
, а число обумовленості системи рівнянь 
як 
Чим більше це число, тим гірше обумовленість. Спроби застосування явних методів до різних ММС найчастіше приводять до неприпустимо низької обчислювальної ефективності, оскільки в реальних моделях 
— звичайна ситуація. Тому в цей час в універсальних програмах аналізу явні методи рішення СЗДР не застосовують.
. Отже, неявний метод Ейлера має так називану A-стійкість.
.
. У цих методах крок вибирається автоматично не з умов стійкості, а тільки з міркувань точності рішення.
Новости и инфо для студентов