Теорема

Ймовірність добутку двох незалежних подій А і В дорівнює добутку ймовірностей цих подій, тобто

296.Проводиться випробування кидання двох монет. Розглядаються такі події:

А – «випав герб на першій монеті»;

В – «випала цифра на першій монеті»;

С – «випав герб на другій монеті»;

D – «випала цифра на другій монеті».

З’ясуйте, що означають події:

1) А + С; 2) В + D; 3) А + D; 4) В + С.

297.В полі спостереження мікроскопа знаходяться чотири клітини. За час спостереження кожна з них може як поділитися, так і не поділитися. Розглядаються події:

А – «поділилася рівно одна клітина»;

В – «поділилася хоча б одна клітина»;

С – « поділилися не менше двох клітин»;

D – «поділилося рівно дві клітини»;

Е – «поділилося рівно три клітини»;

F – «поділилися всі чотири клітини».

Вкажіть в чому полягає подія:

1) А + В; 2) В + С; 3) D + E + F.

298.Вкажіть події, протилежні до подій:

А – «випали два герба при киданні двох монет»;

В – «вийнято білу кульку при витягуванні однієї кульки з урни, в якій 2 білих, 3 чорних і 4 червоних кульки»;

С – «три попадання при трьох пострілах»;

D – «хоча б одне попадання при п’яти пострілах»;

E – «не більше двох попадань при п’яти пострілах»;

F – «виграш одного гравця при грі в шахи».

299.По мішені проводиться два постріли. Розглядаються події:

А – «попадання при першому пострілі»;

В – «попадання при другому пострілі».

З’ясуйте, що означають події:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

300.Випробування полягає в тому, що кидається дві монети. Розглядаються події:

А – «випав герб на першій монеті»;

В – « випала цифра на першій монеті»;

С – «випав герб на другій монеті»;

D – «випала цифра на другій монеті»;

Е – «випав хоча б один герб»;

F – «випала хоча б одна цифра»;

G – «випав один герб і одна цифра»;

Н – « не випав ні один герб»;

К – «випало два герби».

Визначте, яким подіям із даного списку рівносильні такі події:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

301.Дано дві випадкові події А і В. Виразіть через дані події такі випадкові події:

С – «подія А не відбудеться»;

D – «відбуваються обидві події А і В»;

Е – «відбувається хоча б одна з двох подій або А, або В»;

F – «подія А відбувається і подія В не відбувається»;

G – «не відбувається хоча б одна з двох подій або А, або В»;

Н – «обидві події і В не відбуваються».

302.Кожний з двох студентів вибирає навмання один з трьох можливих способів дістатися до коледжу: трамваєм, автобусом або пішки. Розглядаються такі випадкові події:

– «перший студент поїде до коледжу трамваєм»;

– «перший студент поїде до коледжу автобусом»;

– «перший студент піде до коледжу пішки»;

– «другий студент поїде до коледжу трамваєм»;

– «другий студент поїде до коледжу автобусом»;

– «другий студент піде до коледжу пішки».

Виразіть через позначені випадкові події наступні випадкові події:

D – «перший студент дістанеться до коледжу не автобусом»;

Е – « другий студент дістанеться до коледжу або трамваєм, або пішки»;

F – «обидва студента дістануться до коледжу пішки»;

G – «перший студент дістанеться до коледжу трамваєм, а другий не піде пішки»;

Н – «або перший, або другий зі студентів дістануться до коледжу автобусом».

303.Нехай А, В, С – деякі випадкові події. Знайдіть вирази для подій, які полягають у тому, що:

1) настала тільки подія А;

2) настали події А і В, але подія С не настала;

3) настала принаймні одна з цих подій;

4) не настала жодна з цих подій;

5) настали всі три події;

6) настало не більше двох подій.

304.Стрілець тричі стріляє в ціль. Нехай подія полягає у влученні в ціль у результаті -го пострілу ( ).

З’ясуйте, що означають події:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

Виразіть через події , та такі події:

5) F – «влучення мало місце в результаті першого пострілу»;

6) G – «влучення мало місце в результаті кожного з трьох пострілів»;

7) Н – «влучення мало місце лише в результаті одного пострілу»;

8) Е – «влучення мало місце не менше двох разів»;

9) К – «влучення мало місце не більше одного разу».

305.Стрілець стріляє по мішені, яка розділена на три області. Ймовірність влучення в першу область дорівнює 0,45, в другу – 0,35. Знайдіть ймовірність того, що стрілець при одному пострілі попаде або в першу, або в другу область.

306.Стрілець влучає в десятку з ймовірністю 0,05, у дев’ятку – з ймовірністю 0,2, у вісімку – з ймовірністю 0,5. Знайдіть ймовірність того, що стрілець набере не менше восьми очок після першого пострілу.

307.В коробці є 20 деталей, із яких 15 стандартних. Знайдіть ймовірність того, що серед 3 вибраних навмання деталей є хоч би одна стандартна.

308.В ящику лежать 8 білих і 12 червоних однакових на дотик кульок.

1) Навмання вибирають 3 кульки. Знайдіть ймовірність того, що хоч би одна з них буде білою?

2) Навмання вибирається 6 кульок. Знайдіть ймовірність того, що серед них не більше одної білої кульки?

3) Навмання вибирається 5 кульок. Знайдіть ймовірність того, що серед них не менше двох білих кульок?

4) Навмання вибирають 2 кульки. Знайдіть ймовірність того, що вони одного кольору?

309.В ящику лежать 8 червоних, 10 зелених і 12 синіх однакових на дотик кульок. Навмання виймають три кульки. Знайдіть ймовірність того, що серед вибраних кульок буде відсутній хоч би один колір.

310.В майстерні працює 3 верстати. За зміну перший верстат може потребувати наладки з ймовірністю 0,15, другий верстат – з ймовірністю 0,1, третій – з ймовірністю 0,12. Вважаючи, що верстати не можуть потребувати наладки одночасно, знайдіть ймовірність того, що за зміну хоча б один верстат потребує наладки.

311.За статистичними даними ремонтній майстерні в середньому на 20 зупинок токарного верстату приходиться: 10 – для заміни різця; 3 – через несправності привода; 2 – через несвоєчасну подачу заготовок. Останні зупинки відбуваються за інших причин. Знайдіть ймовірність зупинки станка за інших причин.

312.Береться навмання трицифрове натуральне число від 100 до 999. Знайдіть ймовірність того, що хоч би дві його цифри співпали.

313.Маємо такий розподіл ймовірностей світіння електричних ламп за кількістю годин:

Визначте імовірність того, що взята навмання лампа світитиметься:

А) більш як 800 год.;

Б) більш як 1000 год.;

В) не більш як 600 год.;

Г) не менш як 600 год.

314.Два мисливця стріляють одночасно і незалежно один від одного по мішені. Ймовірність влучень в мішень відповідно дорівнюють 0,7 і 0,8. Знайдіть ймовірність того, що:

1) обидва мисливця влучать;

2) лише один із мисливців влучить у ціль;

3) жодний із мисливців не влучить у ціль;

4) хоча б один із мисливців влучить у ціль.

315.Є три ящики, в яких містяться по 10 деталей. В першому ящику 8, в другому 7 і в третьому 9 стандартних деталей. Із кожного ящика навмання беруть по одній деталі. Знайдіть ймовірність того, що всі три взяті деталі будуть стандартними.

316.Ймовірність того, що стрілець при одному пострілі попаде в ціль, дорівнює 0,9. Стрілець виконав три постріли. Знайдіть ймовірність того, що всі три постріли попали в ціль.

317.Кинули монету і гральний кубик. Знайдіть ймовірність одночасного випадання герба на монеті і числа 6 на гральному кубику.

318.Завод випускає 95% деталей стандартними, причому із них 86% – першого сорту. Знайдіть ймовірність того, що навмання взята деталь виготовлена на цьому заводі буде першого сорту.

319.Три стрільця, для яких ймовірність влучення в мішень дорівнюють 0,8; 0,75; і 0,7, роблять по одному пострілу. Знайдіть ймовірність того, що:

1) хоча б один із стрільців влучить у мішень;

2) тільки один із стрільців влучить у мішень;

3) тільки два із стрільців влучать у мішень.

320.В двох ящиках знаходяться деталі: в першому – 10 (із них 3 стандартні); в другому – 15 (із них 6 стандартних). З кожного ящика навмання беруть по одній деталі. Знайдіть ймовірність того, що:

1) деталь з першого ящика стандартна;

2) деталь з другого ящика стандартна;

3) обидві деталі стандартні;

4) обидві деталі не стандартні;

5) хоч би одна деталь не стандартна;

6) хоч би одна деталь стандартна.

321.Ймовірність попадання в ціль при стрільбі з трьох гармат відповідно дорівнюють 0,8; 0,7 і 0,9. Знайдіть ймовірність хоч би одного влучення при одному залпі з усіх гармат.

322.В типографії є 4 типографські машини. Для кожної машини ймовірність того, що вона працює в даний момент, дорівнює 0,9. Знайдіть ймовірність того, що в даний момент працює хоча б одна машина.

323.Два мисливцістріляють одночасно і незалежно один від одного в ціль. Постріл вважається успішним, якщо в ціль влучив хоч би один мисливець. Обчисліть ймовірність того, що постріл буде успішним, якщо ймовірності влучення в ціль для мисливців дорівнюють відповідно 0,8 і 0,75.

324.Ймовірність влучення в ціль з одного пострілу дорівнює 0,8. Знайдіть ймовірність влучення в ціль хоча б один раз з двох пострілів.

325.Ймовірність попадання в мішень при одному пострілі дорівнює 0,5. Знайдіть ймовірність хоч би одного влучення при десяти незалежним чином проведених пострілах?

326.При виготовленні деталі проводиться чотири операції. Ймовірність одержання браку після кожної операції дорівнює 0,01. Знайдіть ймовірність випуску деталі без браку, якщо операції незалежні.

327.Знайдіть ймовірність того, що за вісім кидків монети принаймні один раз випаде герб.

328.Ймовірність того, що при одному пострілі стрілець влучить у ціль, дорівнює 0,4. З’ясуйте, скільки пострілів повинен виконати стрілець, щоб з ймовірністю не менше 0,9 він влучив у ціль хоча б один раз?

329.Ймовірність того, що подія здійсниться хоч би один раз у трьох незалежних випробуваннях, дорівнює 0,936. Знайдіть ймовірність здійснення події в одному випробуванні, якщо відомо, що в усіх випробуваннях ймовірність здійснення події одна і та ж.

330.Ймовірність того, що при одному пострілі стрілець влучить у десятку, дорівнює 0,6. З’ясуйте, скільки пострілів повинен зробити стрілець, щоб з ймовірністю не менше 0,8 він влучив в десятку хоча б один раз?

331.Ймовірність того, що в результаті чотирьох незалежних випробувань подія А настане принаймні один раз, дорівнює 0,59. Знайдіть ймовірність настання події А при одному випробуванні, якщо вона під час всіх випробувань однакова.

до змісту

§ 33 Дискретні випадкові величини