Формулы F1 и F2 называются равносильными, если их эквиваленция – тавтология.

Равносильность двух формул записывается так: (читается: формула F₁ равносильна формуле F₂).

Проверить, равносильны ли формулы, можно двумя способами: 1) составить их эквиваленцию и с помощью таблицы истинности проверить, не является ли она тавтологией; 2) для каждой формулы составить таблицу истинности и сравнить итоговые результаты; если в итоговых столбцах при одинаковых наборах значений переменных значения истинности обеих формул будут равны, то формулы являются равносильными.

Пример 12. Проверить, являются ли формулы и равносильными.

Решение.

1 Составим таблицу истинности для формулы F:

Х	Y

2 Составим таблицу истинности для формулы Н:

Х	Y

3 Так как итоговые столбцы в обеих таблицах совпадают (совпадают значения формул для одинаковых наборов значений переменных), значит, формулы равносильны, т.е., .

Равносильности формул логики высказываний часто называют законами логики. Перечислим наиболее важные из них:

I 1– закон тождества (утверждает, что мысль, заключенная в некотором высказывании, остается (считается) неизменной на протяжении всего рассуждения, в котором это высказывание фигурирует).

II – закон противоречия (никакое предложение не может быть истинным одновременно со своим отрицанием).

III – закон исключенного третьего (закон альтернативы).

IV – закон двойного отрицания.

V ; – законы тождества (или идемпотентности (на латинском языке «idem» означает «то же», а «potentia» - «сила»)).

VI ; – законы коммутативности (переместительности).

VI ; – законы ассоциативности (сочетательности).

VII ; – законы дистрибутивности (распределительности).

VIII ; – законы де Моргана (английский логик, 1806-1871).

Законы логики используются для упрощения сложных формул и для доказательства тождественной истинности или ложности формул.

 

Контрольные вопросы

 

1 Дайте определение высказывания и высказывательной формы.

2 Перечислите основные логические связки.

3 Дайте определение логической операции.

4 Дайте определение негации, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции.

5 Какие переменные называются пропозициональными?

6 Сформулируйте определение формулы логики высказываний.

7 Опишите процедуру формализации высказываний.

8 Для чего нужна таблица истинности?

9 Опишите алгоритм составления таблицы истинности.

10 Какие формулы называются тавтологиями, противоречиями, выполнимыми (опровержимыми)?

11 Какие формулы называются равносильными?

12 Сформулируйте несколько основных законов логики.

Для чего нужны законы логики?

 

Задание 1: Даны множества: А и В. Найти: 1) А∩В; 2) АUВ; 3) АВ; 4) (АUВ)(А∩В).

А = {3; 5; 7;9}, В = {3; 7; 15; 28}.

 

Задание 2: Решить задачу, используя формулу Грассмана:

1. Из 220 школьников 163 играют в баскетбол, 175 – в футбол, 24 – не играют в эти игры. Сколько человек играют в баскетбол и футбол?

 

Задание 3: Формализовать высказывание:

1. «Если в Варшаву мы не поедем и в горы мы не отправимся, то ежедневно будем ходить на пляж или будем читать книги».

 

Задание 4: Проверить, равносильны ли формулы:

1. и .

 

Задание 5:Решить задачу:

1. Сколькими способами можно из 15 солдат и 4 офицеров назначить в патруль трех солдат и одного офицера?

 

Задание 6:Решить задачу.

1. В пачке 12 билетов денежно-вещевой лотереи, 15 билетов лотереи РОСТО и 20 билетов художественной лотереи. Какова вероятность того, что наудачу вынутые два билета будут билетами денежно-вещевой лотереи?

 

Задание 7: Для данной выборки построить статистическое распределение выборки; построить полигон и гистограмму частот; дать характеристику распределения признака, вычислив для этого: 1) размах выборки; 2) медиану; 3) моду; 4) дисперсию; 5) математическое ожидание.

1. Имеются следующие данные о размерах основных фондов 50 предприятий (в млн. руб.): 0,42; 0,24; 0,49; 0,45; 0,27; 0,42; 0,42; 0,5; 0,5; 0,5; 0,27; 0,25; 0,25; 0,49; 0,5; 0,42; 0,42; 0,49; 0,42; 0,24; 0,45; 0,42; 0,24; 0,49; 0,45; 0,27; 0,42; 0,5; 0,5; 0,42.; 0,42; 0,5; 0,27; 0,5; 0,49; 0,24; 0,27; 0,5; 0,45; 0,24; 0, 5; 0,42; 0,49; 0,25; 0,24; 0,3; 0,3; 0,5; 0,49; 0,42.