Гипербола

Гиперболойназывается геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

Каноническое (простейшее) уравнение гиперболы имеет вид:

.

Гипербола, заданная каноническим уравнением, симметрична относительно осей координат, центр её симметрии находится в начале координат (рис. 10). Параметр а называют действительной полуосью, параметр b – мнимой полуосью гиперболы. Гипербола пересекает ось Ох в двух точках. Эти точки называются вершинами гиперболы.

Фокусы F₁ и F₂ находятся на оси Оx на расстоянии от центра и имеют координаты F₁(– c; 0) и F₂ (c; 0).

Отношение = e > 1 называется эксцентриситетом гиперболы.

Прямоугольник со сторонами 2а и 2b, расположенный симметрично относительно осей гиперболы и касающийся ее в вершинах, называют основным прямоугольником гиперболы. Диагонали основного прямоугольника гиперболы совпадают с её асимптотами.

Асимптоты гиперболы определяются уравнениями: .

Расстояния произвольной точки М(x; y) гиперболы от его фокусов F₁М и F₂М (фокальные радиус-векторы r₁ и r₂) определяются формулами:

для точек правой ветви гиперболы

r₁ = eх + а, r₂ = eх – а;

для точек левой ветви гиперболы

r₁ = – (eх + а); r₂ = – (eх – а).

Прямые х = – и х = называются директрисами гиперболы. Каждая директриса обладает следующим свойством: если r – расстояние произвольной точки гиперболы до некоторого фокуса, d – расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношение есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы e.

Каноническое уравнение определяет гиперболу, симметричную относительно осей координат с фокусами F₁ и F₂ на оси Оу. Фокусы находятся на расстоянии от центра и имеют координаты F₁(0; – с) и F₂(0; с). Эксцентриситет гиперболы определяется соотношением e = ; директрисы имеют уравнения у = – и у = .

Гиперболы и называются сопряженными.

Гипербола с равными полуосями (а = b) называется равносторонней.

Рис. 10