Основные элементарные функции и их графики - раздел Математика, МАТЕМАТИКА
...
x
y
b
k = 0
Линейная функция
Функция , где и – некоторые действительные числа, а – переменная, называется линейной.
x
y
b
k > 0
Область определения линейной функции – все действительные числа, область значений при состоит из одного числа , при – все действительные числа. При функция возрастает, при – убывает, при является постоянной. Графиком линейной функции является прямая, для ее построения достаточно двух точек.
x
y
b
k < 0
По уравнениям линейных функций и можно судить о расположении их графиков. Если , то прямые параллельны; если – перпендикулярны. Угол между прямыми можно найти по формуле: .
Квадратичная функция
Функция , где и – действительные числа и – переменная, называется квадратичной.
Областью определения квадратичной функции является множество действительных чисел. Графиком квадратичной функции является парабола, ветви которой при направлены вверх, а при – вниз. Вершина параболы находится в точке , где , .
a > 0
x
y
D=0
D <0
D>0
a < 0
x
y
D=0
D>0
D<0
Положение параболы относительно оси зависит от дискриминанта, что показано на рисунке.
Степенные функции
·
x
y
Функции вида , , где .
x
y
Область определения этих функций – все действительные числа, область значения функции – множество всех неотрицательных чисел, – все действительные числа. Функция возрастает на всей области определения, а на промежутке убывает и на промежутке возрастает. Функция является четной, ее график симметричен относительно оси , функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.
·
x
y
x
y
Функция .
Области определения и значений – все действительные числа, кроме нуля. Функция на каждом из двух промежутков области определения убывает при и возрастает при . График функции называется гиперболой. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.
· Функции вида и , где .
x
y
x
y
Область определения и область значений функции – все действительные числа, а функции – множество всех неотрицательных чисел. Обе функции возрастают на своей области определения. Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.
Показательная функция
x
y
a > 1
Функция , где – положительное число, не равное 1, называется показательной.
x
y
0 < a < 1
Областью определения показательной функции является множество всех действительных чисел, областью значений – множество всех положительных действительных чисел. Так как , то график показательной функции проходит через точку ; функция монотонно возрастает при и монотонно убывает при .
При решении показательных уравнений и неравенств пользуются свойством монотонности показательной функции:
· ,
· ,
· .
Логарифмическая функция
x
y
a > 1
Функция , где – положительное число, не равное 1, называется логарифмической.
x
y
0 < a < 1
Областью определения логарифмической функции является множество всех положительных действительных чисел, областью значений – множество всех действительных чисел. Так как , то график показательной функции проходит через точку ; монотонно возрастает при и монотонно убывает при .
При решении логарифмических уравнений и неравенств пользуются свойством монотонности функции :
· ,
· ,
· .
Тригонометрические функции
· Функция .
x
y
y=sinx
-1
Областью определения является множество всех действительных чисел, областью значений – промежуток . Функция возрастает на , , убывает на , . Функция является нечетной, график симметричен относительно начала координат.
· Функция .
x
y
y=cosx
-1
Областью определения является множество всех действительных чисел, областью значений – промежуток . Функция возрастает на , , убывает на . Функция является четной, график симметричен относительно оси .
· Функция .
x
y
y=tgx
Областью определения является множество всех действительных чисел, кроме точек вида , , областью значений – множество всех действительных чисел. Функция возрастает на каждом промежутке области определения. Функция является нечетной, график симметричен относительно начала координат.
· Функция .
x
y
y=ctgx
Областью определения является множество всех действительных чисел, кроме точек вида , , областью значений – множество всех действительных чисел. Функция убывает на каждом промежутке области определения. Функция является нечетной, график симметричен относительно начала координат.
Обратные тригонометрические функции
·
x
y
y=arcsinx
-1
Функция .
x
y
y=arccosx
-1
Область определения – промежуток , область значений – промежуток . Функция возрастает на всей области определения. Функция является нечетной, график симметричен относительно начала координат.
· Функция .
Область определения – промежуток , область значений – промежуток . Функция убывает на всей области определения.
· Функция .
x
y
y=arctgx
Область определения – множество всех действительных чисел, область значений – промежуток . Функция возрастает на всей области определения. Функция является нечетной, график симметричен относительно начала координат.
·
x
y
y=arcctgx
Функция .
Область определения – множество всех действительных чисел, область значений – промежуток . Функция убывавет на всей области определения.
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Основные элементарные функции и их графики
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Степени и корни
При извлечении арифметического корня натуральной степени необходимо обращать внимание не только на область допустимых значений выражения (нельзя извлекать корни четной степени из отрицательных чисе
Многочлены
Наиболее известны следующие формулы сокращенного умножения ( и – произвольные выражения, имеющие смысл):
· – разность квадратов,
· – квадрат суммы (разности),
· –
Квадратный трехчлен, квадратное уравнение
Уравнение второй степени с действительными коэффициентами и и переменной называется квадратным; его левая часть называется квадратным трехчленом.
Число называется дискрими
Прогрессии
Арифметической прогрессией называется последовательность чисел , в которой каждый член, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и фиксированного числа , называемого разностью ариф
Тригонометрическая окружность
На окружности единичного радиуса, центр которой совпадает с началом координат, нанесены числа – аргументы тригонометрических функций, им в соответствие ставятся проекции на оси и , а также проекции
Часть 1. Аудиторная работа
439.На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали – значение температуры в градусах Цельси
Часть 2. Самостоятельная работа
457.Сырок стоит 5 рублей 40 копеек. Какое наибольшее количество сырков можно купить на 40 рублей?
458.На графике показано изменение температуры воздуха в
Часть 1. Аудиторная работа
468.Решите уравнение . В ответе укажите корень уравнения или произведение корней, если их несколько.
469.Определите значение переменной , если известно, ч
Часть 1. Аудиторная работа
488.Найдите наименьшее положительное значение , при котором имеет смысл выражение .
489.Определите количество корней уравнения , принадлежащих отрезку .
Часть 1. Аудиторная работа
528.Решите уравнение .
529.Решите уравнение .
530.Найдите все значения , при которых произведение чисел и ра
Часть 2. Самостоятельная работа
540.Магазин открывается в 10 часов утра, а закрывается в 10 часов вечера. Обеденный перерыв длится с 15 до 16 часов. Сколько часов в день открыт магазин?
541.
Часть 1. Аудиторная работа
551.Диагональ куба равна . Найдите его объем.
552.Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем увеличится на 19. Найдите ребро
Часть 2. Самостоятельная работа
569.Диагональ грани куба равна . Найдите его объем.
570.Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в три раза?
Часть 1. Аудиторная работа
578.Найдите объем части цилиндра, изображенного на рисунке, высекаемой из цилиндра прямым двугранным углом. В ответе укажите .
Часть 2. Самостоятельная работа
596.В цилиндрический сосуд налили 1700 см3 воды. Уровень воды при этом достигает высоты 10 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде
Часть 1. Аудиторная работа
605.Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины , , , , , параллелепипеда , у которого , , .
606.Найдите объем многогранника, вершина
Часть 2. Самостоятельная работа
623.Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины , , , , параллелепипеда , у которого , , .
624.Найдите объем многогранника, вершинами
Часть 1. Аудиторная работа
632.Диагональ куба равна . Найдите его объем.
633.Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найд
Часть 2. Самостоятельная работа
650.Больному прописан курс лекарства, которое нужно пить по 0,5 г три раза в день в течение трех недель. В одной упаковке содержится 10 таблеток по 0,5 г. Какого наименьшего количе
Часть 1. Аудиторная работа
662.Выписаны в порядке возрастания все трехзначные числа, в записи которых используются только цифры 0, 2, 4, 6. Какое число следует за числом 426?
663.Ск
Часть 2. Самостоятельная работа
680.Выписаны в порядке возрастания все трехзначные числа, в записи которых используются только цифры 1, 3, 5, 7. Какое число следует за числом 537?
681.Из
Часть 1. Аудиторная работа
690.На три призовых места претендуют Вася, Дима и Коля. Каким числом способов могут распределиться призовые места?
691.Сколькими способами 8 отдыхающих в
Часть 2. Самостоятельная работа
708.Четыре танкиста, четыре артиллериста и два летчика хотят сфотографироваться, стоя в один ряд, но так, чтобы представители одного рода войск стояли рядом. Каким числом способов
Часть 1. Аудиторная работа
718.В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 – из США, остальные – из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероят
Часть 2. Самостоятельная работа
736.В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 17 из России, 22 – из США, остальные – из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вер
Часть 1. Аудиторная работа
746.На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем пять из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найдите вероятность того, что все
Часть 2. Самостоятельная работа
758.Какой будет концентрация раствора (в процентах), если смешать 2 кг 42%-го и 3 кг 54%-го растворов кислоты?
759. На диаграмме показана среднемесячная т
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов