При выполнении контрольных работ по математике и её приложениям студент должен придерживаться следующих правил.

При выполнении контрольных работ по математике и её приложениям студент должен придерживаться следующих правил. Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку. В заголовке работы на обложке тетради должны быть написаны фамилия студента, номер (шифр) его зачетной книжки, номер контрольной работы, название дисциплины, номер группы, дата выполнения работы.

Вариант задания выбирается в соответствии с двумя последними цифрами шифра A и B. Каждая задача зависит от двух числовых параметров m и n, которые определяются по цифрам A и B из таблиц:

A
m

B
n

Например, студент с шифром 12-34 (A=3, B=4) решает задачи со значениями m=8, n=9.

На собеседовании по каждой контрольной работе проверяется самостоятельность выполнения студентом контрольной работы и его готовность к сдаче зачета или экзамена.

Контрольная работа №3

3. Функции нескольких переменных. Интегралы.

3.3. Найти производные функции .

3.5. Вычислить неопределенные интегралы:

3.5.а	3.5.б
3.5.в	3.5.г
3.5.д	3.5.е
3.5.ж	3.5.з .

3.6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

3.6.а

3.6.б , x = mn.

Контрольная работа №4

4. Дифференциальные уравнения и ряды.

4.1. Найти общее решение дифференциального уравнения:

4.1.а	4.1.б
4.1.в	4.1.г

4.2. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения:

4.2.а.

4.2.б.

3. Функции нескольких переменных.

Интегралы.

Частной производной функции по переменной в точке называется предел

Аналогично определяются частные производные по и по . При дифференцировании по одной переменной все остальные считаются постоянными.

Например, если , то

, , .

Задача 3.1. Найти частные производные функции .

Решение. Имеем:

Аналогично,

Задача 3.3. Найти производные функции .

Решение.Имеем:

По определению вторых частных производных, имеем:

Неопределенные интегралы.

Определение 1. Функция называется первообразной для функции , если . У функции имеется бесконечное множество первообразных, при этом все они… Определение 2. Множество всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом от и обозначается…

Основные свойства неопределенного интеграла.

2. . 3. .

Определенные интегралы. Площади плоских фигур.

. Возьмем, опять же произвольным образом, внутри каждого из отрезков по точке .…

Геометрический смысл определенного интеграла.

Связь между определенным и неопределенным интегралом заключена в формуле Ньютона-Лейбница: , или, в другой записи, , где - произвольная… Справедливы следующие две формулы – замена переменной интегрирования и…

Замена переменной.

Интегрирование по частям.. Задача 3.6.а. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , . Решение. Заметим, что первое уравнение является уравнением параболы, ветви которой направлены вправо. Второе уравнение…

Дифференциальные уравнения и ряды

. Решением дифференциального уравнения называется функция , подстановка которой… .

Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

Рассмотрим уравнение

где и константы, а функция в правой части уравнения имеет один из следующих трех видов

, , ,

- произвольный многочлен степени . Решение такого уравнения может быть получено следующим образом. Квадратное уравнение

назовем характеристическим уравнением для нашего уравнения. Пусть , – корни этого квадратного уравнения. Общее решение однородного уравнения

имеет вид

если , - два различных вещественных числа; имеет вид

если и, наконец, решение имеет вид

если , - комплексно-сопряженные корни характеристического уравнения.

Общее решение неоднородного уравнения может быть получено как сумма общего решения однородного уравнения и произвольного частного решения неоднородного уравнения . Это частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов по следующему правилу.

Сопоставим функции в правой части исходного уравнения число . Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в том же виде, в каком записана правая часть, то есть

если , и в виде

если или . Здесь , многочлены степени , коэффициенты которых можно определить, подставив в исходное уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых функциях. Если является корнем характеристического уравнения (эта ситуация называется резонансом), то степень многочленов , увеличивается на 1.

Задача 4.2.а. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения.

Решение. Сначала найдем общее решение однородного уравнения. Выпишем характеристическое уравнение

Следовательно, общее решение линейного однородного уравнения имеет вид

Поскольку корни характеристического уравнения не совпадают с соответствующим показателем правой части , частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

Получаем:

Подставляя ,,в исходное уравнение, получаем:

Сокращая на и приводя подобные, получим

откуда

Общее решение неоднородного уравнения имеет, следовательно, вид

Теперь найдем решение задачи Коши. Имеем:

Поскольку , второе уравнение имеет вид . Решаем систему линейных уравнений на неизвестные и :

Умножая первое уравнение системы на 2 и вычитая из него второе уравнение, получим:

Û .

Далее,

Ответ: .

Задача 4.2.б.Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид:

откуда

где - мнимая единица. Следовательно, , , и общее решение однородного уравнения есть

Правая часть исходного неоднородного уравнения имеет то же собственное число, что и характеристическое уравнение, следовательно, мы имеем дело с резонансом. Поэтому частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде