Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотезы
Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотезы - раздел Математика, «Теория вероятностей и математическая статистика» (пособие для учащихся) Часто Необходимо Знать Закон Распределения Генеральной Совокупности. Если Зак...
Часто необходимо знать закон распределения генеральной совокупности. Если закон распределения неизвестен, но имеются основания предположить, что он имеет определенный вид (назовем его А), выдвигают гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону А.
Таким образом, в этой гипотезе речь идет о виде предполагаемого распределения.
Возможен случай, когда закон распределения известен, а его параметры неизвестны. Если есть основания предположить, что неизвестный параметр равен определенному значению , выдвигают гипотезу: . Таким образом, в этой гипотезе речь идет о предполагаемой величине параметра одного известного распределения.
Возможны и другие гипотезы: о равенстве параметров двух или нескольких распределений, о независимости выборок и многие другие.
Статистическойназывают гипотезу о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений.
Пример 9.1. Статистическими являются гипотезы:
1) генеральная совокупность распределена по закону Пуассона;
2) дисперсии двух нормальных совокупностей равны между собой.
В первой гипотезе сделано предположение о виде неизвестного распределения, во второй – о параметрах двух известных распределений.
Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и противоречащую ей гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место противоречащая гипотеза. По этой причине эти гипотезы целесообразно различать.
Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Н1, которая противоречит нулевой.
Например, если нулевая гипотеза состоит в предположении, что математическое ожидание а нормального распределения равно 10, то конкурирующая гипотеза, в частности, может состоять в предположении, что
Коротко это записывают так:
Различают гипотезы, которые содержат только одно и более одного предположений.
Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение.
Пример 9.2. Если – параметр показательного распределения, то гипотеза – простая.
Сложнойназывают гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.
Пример 9.3. Сложная гипотеза состоит из бесчисленного множества простых вида , где – любое число, большее 5.
В итоге проверки гипотезы могут быть допущены ошибки двух родов.
Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки первого рода называют уровнем значимости и обозначают через .
Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки второго рода обозначают через .
Статистическим критерием (или просто критерием) называют случайную величину К, которая служит для проверки гипотезы.
Наблюдаемым (эмпирическим) значениемКнабл называют то значение критерия, которое вычислено по выборкам.
Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.
Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают.
Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают.
В.П. Кошелева
«Теория вероятностей и
математическая статистика»
(пособие для учащихся)
Правила комбинаторики
Подсчитать общее число возможных комбинаций помогает одно из важнейших правил комбинаторики — правило умножения: если первый элемент в комбинации можно выбрать m способами, посл
Перестановки
Перестановки– комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов. Общее число перестановок из n элементов обозначается
Размещения
Размещения – комбинации из n элементов по m элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами или их порядком.
Размещения обозначаются
Сочетания
Сочетания– все возможные комбинации из n элементов по m элементов, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом.
Сочетания обозна
Всякий результат опыта называется событием.
Событие называется случайным, если при одних и тех же условиях оно может как произойти, так и не произойти. Вместо "произойти" говорят также "наступ
Виды случайных событий
События,которые никогда не могут произойти называетсяневозможными.
События, которые происходят при каждом экспериментеназываютсядостоверными.
Геометрическое определение вероятности
В предыдущем пункте мы научились вычислять вероятности событий в опытах, имеющих конечное число равновозможных исходов. Для этого не требуется проводить никаких экспериментов — нужно всего лишь пра
Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Теорема сложения вероятностей двух событий. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
Р(А+В)
Формула Бернулли
Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно с
Локальная теорема Лапласа
Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях п достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами.
Например, если п = 50, k
Интегральная теорема Лапласа
Предположим, что производится п испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0 < р < 1). Как вычислить вероятность
Понятие случайной величины
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не м
Виды случайных величин.
В примере 4.2 случайная величина X могла принять одно из следующих возможных значений: 0, 1, 2, . . ., 100. Эти значения отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значен
Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
На первый взгляд может показаться, что для задания дискретной случайной величины достаточно перечислить все ее возможные значения. В действительности это не так: случайные величины могут иметь один
Функция распределения.
Функция распределенияслучайной величины – это функция действительн
Математическое ожидание случайной величины
Как уже известно, закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее п
Биноминальное распределение
Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р
Распределение Пуассона.
Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р
Равномерное распределение
Распределение вероятностей случайной величины Х называется равномерным на отрезке , если плотность вероятности равна
Нормальное распределение.
Распределение с непрерывной случайной величины называется нормальным, если плотность распределения ее описывается формулой:
Понятие о системе нескольких случайных величин
До сих пор рассматривались случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом. Такие величины называют одномерными.
Кроме одно
Плотность непрерывной двумерной случайной величины
Двумерная случайная величина задавалась с помощью функции распределения. Непрерывную двумерную величину можно также задать, пользуясь плотностью распределения.
Будем предполагать, что функ
Предмет математической статистики
Математическая статистика — это раздел математики, посвященный методам сбора, анализа и обработки статистических данных для научных и практических целей.
Математическая ст
Основные виды выборок
При составлении выборки можно поступать двумя способами: после того как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. В соот
Способы отбора
На практике применяются различные способы отбора. Принципиально эти способы можно подразделить на два вида:
1. Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части.
Вариационный ряд
Основная форма представления выборочной совокупности – вариационные ряды.
Пусть посредством независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, получены числовые зна
Полигон частот
Полигон частот образуется ломаной линией, соединяющей точки, соответствующие срединным значениям интервалов группировки и частотам этих интервалов, срединные значения откладываются
Эмпирическая функция распределения
Эмпирической функцией распределения называется функция F*(х), определяющая для каждого значения х относительную частоту события X < х, т.е. по определению
Среднее арифметическое
Среднее арифметическое, или просто среднее, — одна из основных характеристик выборки.
Среднее арифметическое – такое значение признака, сумма отклонений от которого выборо
Медиана
Медианой (Ме) называется такое значение признака X, когда ровно половина значений экспериментальных данных меньше ее, а вторая половина — больше.
Если данных
Дисперсия и стандартное отклонение
Дисперсией называется средний квадрат отклонения значений признака от среднего арифметического. Дисперсия, вычисляемая по выборочным данным, называется выборочной дисперсие
Коэффициент вариации
Стандартное отклонение выражается в тех же единицах измерения, что и характеризуемый им признак. Если требуется сравнить между собой степень варьирования признаков, выраженных в разных единицах изм
Коэффициент осцилляции
С целью, аналогичной введению коэффициента вариации, вводитсякоэффициент осцилляции по формуле:
Теория оценок
8.1. Статистические оценки параметров распределения.
8.2.Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки.
8.3. Точность оценки, доверительная вероятность (надежнос
Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки
Для того чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям.
Пусть
Доверительный интервал
Точечной называют оценку, которая определяется одним числом.
При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т. е. привод
Новости и инфо для студентов