О задаче n тел

О задаче n тел. Пусть n - произвольное целое число. Фундаментальная задача небесной механики - задача n тел - состоит в следующем.

В пустоте находится n материальных точек, взаимодействующих по закону всемирного тяготения Ньютона.

Заданы начальные положения и скорости точек.

Требуется найти положения точек для всех последующих моментов времени.

Математические трудности исследования этой задачи быстро возрастают с ростом числа тел. Для произвольного n задача не решена до сих пор, хотя существует много аналитических и численных методов, ориентированных на использование компьютеров, которые могут дать приближенное решение задачи. Это решение позволяет для заданных конкретных начальных условий определить положение каждой из n точек с любой необходимой для практики точностью для любого конечного отрезка времени.

Но эти методы неспособны дать ответ на вопрос о поведении точек на сколь угодно большом неограниченном промежутке времени, хотя этот вопрос крайне важен в задаче о будущей судьбе Солнечной системы, да и всего мироздания тоже. Однако для двух частных значений n задача n тел решена полностью, и произошло это очень давно, лет 300-350 назад, на заре становления современной механики. Речь идет о задачах одного и двух тел n 1 и n 2. Кратко остановимся на этих задачах. Случай n 1 Решение задачи о движении одного тела содержится уже в первом законе Ньютона - законе инерции всякое тело удерживается в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не побуждается приложенными силами изменить это свое состояние И. Ньютон Математические начала натуральной философии.

Так как тело одно-единственное, а побуждающие силы могут действовать только со стороны других тел которых при n 1 нет, то оно в соответствии с законом инерции движется равномерно и прямолинейно.

Это и дает полное решение задачи n тел при n 1. Случай n 2 Решение задачи двух тел также было получено Ньютоном. Опираясь на законы Кеплера движения планет и некоторые другие результаты своих предшественников, Ньютон открыл закон всемирного тяготения, то есть по заданному движению планеты была найдена сила 1 ее взаимодействия с Солнцем. Ньютон рассмотрел и обратную задачу в данном случае задачу двух тел найти движение двух тел, взаимодействующих с силой, определяемой формулой 1. Оказалось, что тела движутся в фиксированной плоскости, определяемой начальными условиями, а их орбиты друг относительно друга и относительно общего центра масс представляют собой кривые, называемые коническими сечениями.

Эти имеющие исключительно важное значение для движения небесных тел кривые были открыты геометром и астрономом древности Менехмом IV век до н.э учеником Евдокса. Менехм рассматривал сечения конусов вращения плоскостями, перпендикулярными их образующим.

Линия пересечения плоскости и поверхности конуса получила название конического сечения. В зависимости от угла a при вершине конуса Менехм получил три типа конических сечений если угол a острый, то в сечении получается эллипс при прямом угле a получается парабола при тупом угле a коническое сечение будет гиперболой. Таким образом, Ньютон доказал, что орбиты в задаче двух тел могут быть эллипсами, гиперболами или параболами.

Эти орбиты в небесной механике называют еще кеплеровскими орбитами.