Точные решения задачи трх тел

Точные решения задачи трх тел. Хотя общее решение задачи трех тел получить не удалось, тем не менее уже более двухсот лет известны ее точные частные решения. В 1772 году Лагранж опубликовал свой знаменитый мемуар О задаче трех тел, удостоенный впоследствии премии Парижской академии наук. В нем, занимаясь уравнениями задачи трех тел, Лагранж, между прочим, указывает на существование двух классов движений в задаче трех тел, которые описываются несложными математическими формулами.

Для движений одного класса три взаимно притягивающиеся по закону Ньютона точки P1 , P2 и P3 , расположенные в вершинах равностороннего треугольника произвольных размеров, при определенных по величине и направлению скоростях будут и в последующем двигаться, постоянно образуя равносторонний треугольник.

Величина стороны треугольника изменяется со временем согласно законам Кеплера, а сам треугольник вращается в фиксированной плоскости вокруг общего центра масс тел, также подчиняясь законам Кеплера. Частные решения этого класса называют треугольными, или лагранжевыми, решениями. В движениях второго класса все три тела постоянно находятся на одной прямой, вращающейся вокруг общего центра масс тел в соответствии со вторым законом Кеплера, а расстояния между телами изменяются опять же по законам кеплеровских движений.

Существование таких частных решений было отмечено Леонардом Эйлером в 1767 году, за пять лет до мемуара Лагранжа. Решения второго класса получили название прямолинейных коллинеарных, или эйлеровых. Существование точных решений задачи трех тел можно доказать элементарными средствами. Особенно просто это можно сделать, когда тела движутся относительно их общего центра масс по круговым орбитам.

Не останавливаясь на подробностях, отметим только, что в этом случае доказательство может быть основано на том, что центробежная сила для каждого из тел, вращающихся вокруг общего центра масс, должна уравновешиваться силами притяжения двух других тел.