Определение модуля сдвига методом крутильных колебаний

Определение модуля сдвига методом крутильных колебаний. Цель работы Экспериментальное определение модулей сдвига различных материалов методом крутильных колебаний.

Идея эксперимента Крутильный маятник представляет собой стержень или проволоку, верхний конец которой закреплен. К нижнему концу проволоки подвешивается тело произвольной формы. Если закрутить проволоку, т.е. вывести маятник из положения равновесия, то в системе возникнут крутильные колебания t. Очевидно, что период этих колебаний зависит от геометрии системы, от момента инерции подвешенного тела и от упругих свойств материала подвеса.

Это позволяет, изучая крутильные колебания, определить одну из важнейших характеристик материала модуль сдвига. Теория Если момент пары сил, приложенных касательно к незакрепленному концу проволоки, равен М, то угол кручения угловое смещение колебательной системы по закону Гука оказывается равным сМ, где с - коэффициент, зависящий от упругих свойств материала проволоки. Модуль кручения f, равный , 13.1 показывает, какой момент сил надо приложить, чтобы закрутить проволоку на угол в один радиан.

Модуль сдвига G равен , 13.2 где F S определяет величину касательной силы, приходящейся на единицу поверхности, а - угол сдвига рис. 28 . Между модулем кручения и модулем сдвига материала существует простое соотношение , 13.3 где r - радиус цилиндрической проволоки, L - ее длина. Подвешенное на проволоке твердое тело при возникновении в системе крутильных колебаний совершает вращательные движения, к которым может быть применен основной закон динамики вращательного движения , 13.4 где M - вращательный момент относительно оси подвеса, J - момент инерции тела относительно той же оси угловое ускорение. Используя 13.1 и учитывая, что угловое ускорение направлено против углового смещения, можно записать . 13.5 Из этого уравнения видно, что в рассматриваемом движении ускорение пропорционально угловой координате - смещению и направлено противоположно ему, что является существенным признаком гармонического колебания, где 0 - циклическая частота.

Поэтому 0 должен быть равен , 13.6 где Т - период колебаний.

Далее , 13.7 откуда . 13.8 Экспериментальная установка В данной работе крутильный маятник представляет собой штангу Ш, подвешенную на проволоке А рис. 29 . Верхний конец проволоки закреплен с помощью винта В в держателе Д. Для выведения маятника из положения равновесия, т. е. для первоначального закручивания проволоки служит пусковое устройство П. Вдоль штанги могут перемещаться два груза Г одинаковой массы m. Изменяя расстояния l от грузов до центра штанги, можно изменять момент инерции маятника, а вместе с этим и период колебаний маятника.

Для того, чтобы из выражения 13.8 найти модуль кручения f материала проволоки, необходимо исключить неизвестный момент инерции J. Для этого в работе определяются два периода колебаний маятника при разных моментах инерции , 13.9 откуда . 13.10 Момент инерции крутильного маятника складывается из моментов инерции грузов 2ml2 и суммарного момента инерции штанги и проволоки j . 13.11 Для исключения j вычтем J1 из J2 . 13.12 Подставляя сюда из соотношения 13.10 значение, получаем . 13.13 Подставив, наконец, это выражение в уравнение 13.7 , находим модуль кручения . 13.14 Для модуля сдвига получается выражение . 13.15 Проведение эксперимента Измерения 1. Подвешивают стержень крутильного маятника на выбранную проволоку.

Надевают на концы штанги грузы Р. Наблюдая за положением равновесия штанги с грузами и понемногу перемещая грузы, уравновешивают штангу в горизонтальном положении.

Измеряют радиус проволоки r и длину подвеса L. Записывают массы грузов m. 2. Сообщают маятнику вращательный импульс так, чтобы он совершал крутильные колебания с небольшой амплитудой. Для этого легким рывком отодвигают в сторону рычажок пускового механизма Н. Следят за тем, чтобы при пуске не возникали поступательные колебания. 3. Измеряют суммарное время t1 50-100 колебаний маятника. Измеряют расстояние l1 от оси вращения до середины одного из грузов. 4. Передвигают грузы в другое положение и, снова уравновесив маятник, измеряют время t2 такого же числа колебаний.

Измеряют расстояние l2. 5. Если число колебаний N в первом и втором случаях одинаково, то формулы 13.14 и 13.15 можно записать через время и число колебаний . 13.16 Подставляют в эти формулы измеренные значения входящих в них величин и вычисляют модуль кручения f и модуль сдвига G материала проволоки. 6. Для вычисления величин погрешностей измерений можно вывести следующие формулы 13.17 При этом принято, что погрешности измерений величин l1 и l2 одинаковы и равны l, а погрешности измерения t1 и t2 равны t. Анализ приведенных формул показывает, что наибольший вклад в измерение модуля сдвига вносит погрешность измерения величины r. Следовательно, радиус проволоки должен быть измерен с максимально возможной точностью.

Кроме того, желательно проводить эксперимент таким образом, чтобы значения величин l1 и l2 и, соответственно, t1 и t2 как можно больше отличались друг от друга. 7. Проводят необходимые измерения и вычисляют модули кручения и модули сдвига еще для двух-трех материалов. 8. Сравнивают полученные значения модуля сдвига с табличными значениями и делают вывод о точности проделанных измерений.