Циркуляция вектора магнитной индукции

 

По аналогии с электростатикой определяется понятие циркуляции вектора по замкнутому контуру

, где - элемент контура (рисунок 9).

Вычислим циркуляцию вектора для простейшего контура – окружности, в центре которой располагается бесконечно длинный проводник с током I. При этом полагаем, что направление обхода контура связано с направлением тока правилом правого винта (рисунок 10).

 

 

 

Рисунок 9 Рисунок 10

В соответствии с формулой (11) и Тогда

(16)

Если же направление обхода контура сместить на противоположное, то a = p, cosa =-1 и интеграл будет отрицательным. Это равнозначно тому, что ток при обходе такого контура был взят со знаком «минус». В рассмотренном примере контуром является окружность. Но оказывается, что выражение (16) справедливо для произвольного контура, охватывающего проводник с током. Более того, если произвольный контур охватывает несколько проводников произвольной формы с токами, то выражение для циркуляции вектора для такого контура аналогично выражению (16)

, (17)

где I_k берется со знаком «+», если его направление связано с направлением обхода контура правилом правого винта и со знаком «-«, если не связано.

Запись (17) является математическим выражением теоремы о циркуляции вектора по замкнутому контуру: циркуляция вектора по замкнутому контуру, охватывающему проводники с токами равна алгебраической сумме токов, умноженной на постоянную. Эта теорема широко применяется для расчета магнитных полей, создаваемых токами различной конфигурации.

Из записи (17) следует, что в общем случае , то есть в отличие от электростатического поля, для которого , магнитное поле не является потенциальным.

 

2 Задачи магнитостатики. Магнитное поле прямого и кругового токов

Теория электромагнетизма решает две задачи расчета магнитных полей, создаваемых проводниками с током: прямую и обратную.

Прямая задача состоит в том, чтобы зная размеры, форму проводника и величину тока в нем, найти значение в каждой точке поля.

Обратная задача: по значениям в каждой точке поля найти величины и расположение токов.

Для решения этих задач используются:

1) принцип суперпозиции полей и закон Био – Савара - Лапласа;

2) теорема о циркуляции вектора .

 

2.1 Магнитное поле прямого тока

На практике часто возникает необходимость рассчитать индукцию от проводника с током более сложной формы, фрагменты которого могут быть представлены прямыми проводниками конечной длины.

При таком подходе, например, прямоугольную рамку с током можно представить как последовательное соединение прямых проводников конечной длины. Целью расчета является нахождение в любой точке пространства индукции, создаваемой одним таким проводником (рисунок 11). Эта задача, как и та, что рассматривалась ранее, решается с использованием закона Био – Савара - Лапласа и принципа суперпозиции. Проводя аналогичные рассуждения, как и в случае бесконечно длинного проводника, приходим к формуле

Отличие рассматриваемой задачи от случая бесконечно длинного проводника состоит в том, что угол изменяется не от 0 до p, а от a₁ до a₂. Следовательно

. (18)

Таким образом, индукция магнитного поля от проводника с током конечной длины определяется положением точки относительно концов этого проводника.

Выражение «бесконечно длинный проводник» не следует понимать буквально. Проводник считается бесконечно длинным при условии . Таким образом, понятие «бесконечно длинный проводник» является относительным.

 

 

Рисунок 11 Рисунок 12

 

2.2 Магнитное поле кругового тока

 

Рассчитаем индукцию магнитного поля, создаваемого круговым током, то есть током, протекающим по кольцу радиуса R (рисунок 12). Нахождение индукции в любой точке пространства представляет собой достаточно сложную задачу. На практике часто требуется рассчитать индукцию в любой точке А на оси ОХ, перпендикулярной площади контура с током и проходящей через его середину. Выделим на кольце два диаметрально противоположных элемента и такие, что . Согласно закону Био-Савара-Лапласа элемент создает в точке А индукцию такого направления, как это показано на чертеже. Аналогично элемент создает в этой точке индукцию , при этом ввиду симметрии Результирующая индукция от элементов и определяется векторной суммой

.

Из рисунка следует, что , (19)

где учтено, что .

Величина определяется из закона Био-Савара-Лапласа с учетом того, что угол между и равен p/2: (20)

Подставляя формулу (20) в выражение (19), получаем

. (21)

Для того, чтобы найти индукцию в точке А от всего кольца. Необходимо проинтегрировать выражение (21) по длине полукольца

(22)

В частном случае при х = 0, из формулы (22) можно получить величину индукции в центре кольца (в точке О)

.

Из рисунка 12 видно, что направление вектора в любой точке А на оси ОХ определяется правилом правого винта: если головку винта вращать в направлении тока по часовой стрелке, то перемещение его острия укажет направление вектора .

Выражение (22) можно записать и в векторном виде. Для этого введем понятие магнитного момента контура

, (23)

где S – площадь контура,

- единичный вектор нормали к площади контура, направление которого связано с направлением тока правилом правого винта (рисунок 3).

Преобразуем выражение (5)

. (24)

Умножим левую и правую часть равенства (24) на вектор

,

Рисунок 13 а с учетом выражения (23)

. (25)

Формула (25) позволяет не только вычислить величину вектора на оси контура, но и определить его направление.

 

2.3 Магнитное поле соленоида и его применение

 

Соленоид представляет собой катушку, у которой проводник намотан на какой-либо каркас из диэлектрика (рисунок14). Бесконечно длинным называется соленоид, у которого диаметр во много раз больше его длины. У такого соленоида поле на оси является однородным. Расчет индукции поля на оси проводится с использованием теоремы о циркуляции.

Выделим участок соленоида длиной и рассмотрим контур АВСD, который охватывает витков, где n – количество витков на единице длины соленоида. Поскольку через каждый виток протекает ток I, то суммарный ток, охватываемый таким контуром, равен In. Рисунок 14

Условимся обходить контур по часовой стрелке, тогда на участках АВ и СD равен нулю, а на участках ВС и DВ кратен . Применим теорему о циркуляции вектора по замкнутому контуру АВСD

. (26)

Замкнутый интеграл в левой части выражения (15) представим суммой интегралов на отдельных участках контура

.

Но на участках ВС и DA cosa = 0, следовательно . Условимся взять контур таким, чтобы участок СD располагался далеко от оси соленоида, тогда на этом участке В » 0 и С учетом этого

(27)

Подставляя (27) в (26), получаем

или . (28)

Одной из разновидностей соленоида является тороид, у которого витки намотаны на тороидальный каркас. Такая конструкция намотки широко применяется, например, в трансформаторах, дросселях и т.д.

Ввиду симметрии величина индукции в точках, равноудаленных от центра тороида одинакова. Это позволяет выбрать контур радиусом R внутри тороида.

Угол между и равен нулю (при соответствующем выборе направления обхода). Обозначим количество витков тороида через N и применим к контуру теорему о циркуляции или , отсюда . (29)

Из формулы (29) и рисунка следует, что поле внутри тороида не является однородным: величина вектора зависит от удаления точки от центра тороида и, кроме того, направление вектора зависит от положения точки относительно начала намотки.

3 Частицы, токи и вещество в магнитном поле

 

На заряженные частицы, движущиеся в электрическом и магнитном полях, действуют силы, зависящие от свойств частиц и характеристик электрического и магнитного полей. Действием этих сил объясняется целый ряд физических явлений, например, сила Ампера, возникновение ЭДС электромагнитной индукции при движении проводника в магнитном поле, существование радиационных поясов вокруг Земли. Эффект Холла и т.д.

Закономерности движения частиц в электрическом и магнитном полях находят большое применение, например, в осциллографах, телевизорах, массспектрографах, ускорителях заряженных частиц и т.д.

 

3.1 Потоки частиц в магнитном поле. Ускорители заряженных частиц

Рассмотрим характер движения частиц в магнитном поле, если их движение не ограничено боковой поверхностью проводника. Пусть в однородном магнитном поле движется положительная частица со скоростью . Сила Лоренца направлена перпендикулярно скорости . Это значит, что скорость частицы изменяется только по направлению, то есть, частица будет двигаться по окружности (рисунок 15). Нетрудно рассчитать радиус этой окружности.

По закону Ньютона или , откуда . Радиус окружности зависит от скорости частицы, индукции магнитного поля и отношения Q/m, которое называется удельным зарядом частицы. Интересно отметить, что период обращения частицы по круговой Рисунок 15 траектории не зависит от скорости

.

Важно также отметить, что при выбранных направлениях и положительно заряженная частица вращается по часовой стрелке. При вращении создается контурный ток I и индукция такого направления, как это показано на рисунке.

В случае отрицательной частицы вращение будет происходить против часовой стрелки, но направление I и не изменится, то есть, под действием силы Лоренца траектория частицы формируется таким образом, что возникающее в процессе ее движения собственное магнитное поле всегда направлено против внешнего поля.

Если скорость частицы направлена произвольно по отношению к , скорость можно разложить на две составляющие – параллельную и перпендикулярную вектору (рисунок 16).

 

Рисунок 16

 

 

Сила Лоренца действует только на составляющую и частица движется по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной . В направлении, параллельном , частица движется по инерции со скоростью . В результате частица движется по цилиндрической спирали, осью которой является вектор индукции магнитного поля .

Шаг спирали h можно найти, воспользовавшись формулой периода обращения Т:

.

Таким образом, магнитное поле как бы «захватывает» частицы, заставляя их двигаться по ограниченным круговым или спиральным траекториям, то есть магнитное поле является как бы ловушкой для заряженных частиц. Такие ловушки играют важную роль в природе, науке и технике.

Так отклонением заряженных частиц в магнитном поле объясняется существование радиационных поясов – областей высокой концентрации заряженных частиц – и механизм защиты поверхности Земли от космического излучения.

Сила Лоренца играет важную роль в ускорителях заряженных частиц. Их развитие было связано с развитием ядерной физики, которая изучает взаимодействие частиц высоких энергий. В последнее время стали широко применяться в различных технологических процессах, например, для изготовления тонких фильтров, в медицине и даже в сельском хозяйстве.

Наибольшее распространение получили ускорители, в которых частицы многократно проходят одну и ту же область ускоряющего электрического поля. Это обеспечивается их движением по окружности в магнитном поле. Первый ускоритель был построен американским физиком Лоуренсом в 1931 г. и назван циклотроном. Основной частью циклотрона являются дуанты 1 и 2 – вакуумные полуцилиндры (рисунок 17).

 

Рисунок 17

 

 

К дуантам приложено переменное напряжение . Период изменения полярности электрического поля должен совпадать с периодом движения частиц, тогда при попадании частицы в зазор происходит ее ускорение .

Движение частицы происходит по окружности радиуса . С возрастанием скорости частицы увеличивается радиус траектории. Таким образом, траекторией частицы является раскручивающаяся спираль. Предел скорости (или энергии), до которой можно ускорить частицу, зависит от следующего: при возрастании скорости частицы, как следует из теории относительности, увеличивается масса частицы ,

где m₀ – масса покоя, с – скорость света.

Тогда и частица тормозится полем. Советский академик В.И. Векслер открыл принцип автофазировки. Он показал, что частица как бы сама находит такую траекторию, на которой поддерживается постоянная энергия. Можно предложить два способа ускорения частиц на стабилизировавшейся траектории:

1) изменение так, чтобы , тогда и ,

2) изменение периода перезарядки дуантов, чтобы Т_Э= Т_Ч.

Первый способ применяется в синхротронах, второй – в фазотронах. Сочетание этих двух способов позволяет получать значительные энергии на ускорителях –синхрофазотронах. До 1972 г. самым мощным в мире ускорителем протонов был синхрофазотрон на 75 ГэВ, построенный в Серпухове, к 1980 г. максимальная энергия достигла 500 ГэВ (Батавия, США). В настоящее время проектируется синхрофазотрон на 3000 ГэВ.

 

3.2 Взаимодействие параллельных токов

3.2.1 Сила Ампера

 

Если проводник с током поместить в магнитное поле, на каждый из носителей заряда действует сила Лоренца

или ,

где е – заряд носителей,

- скорость их упорядоченного движения,

- вектор магнитной индукции,

От носителей тока действие этой силы передается проводнику, по которому они перемещаются. В результате на проводник с током, помещенный в магнитное поле, действует сила.

В проводнике длиной и поперечным сечением S одновременно движется число носителей , где n – концентрация носителей. На все носители заряда действует сила

. (30)

Выразим силу через силу тока I. Согласно электронной теории проводимости плотность тока j равна ,

а сила тока I по определению равна . (31)

Подставляя в (30), получаем . (32)

Эта формула определяет величину силы, действующей на элемент тока в магнитном поле. Соотношение (32) было установлено экспериментально Ампером и носит название закона Ампера.

Закон Ампера (32) можно переписать и в векторной форме

, (33)

где направление вектора совпадает с направлением тока в проводнике.

Согласно формуле (33) направление силы перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и (рисунок 18). Для определения направления силы используется правило правого винта. Из закона Ампера ясен смысл вектора магнитной индукции . Если проводник с током I расположить перпендикулярно линиям магнитной индукции , то .

Положим I = 1 А и м, тогда вектор численно равен силе, действующей на единичный ток, протекающий по единичному проводнику перпендикулярно полю. Вектор - силовая характеристика магнитного поля – подобно напряженности электрического поля . Но существенное различие состоит в том, что вектор параллелен силе, действующей на заряды, а вектор перпендикулярен силе, действующей на ток. Последнее означает, что магнитное поле не является центральным.

 

3.2.2 Взаимодействие параллельных токов и его применение

Рассмотрим применение закона Ампера в некоторых простейших случаях. На элемент проводника с током I в магнитном поле действует сила (33). Если проводник помещен в однородное поле, сила, действующая на прямой ток длиной , рассчитывается так

.

Сила, действующая на единицу длины проводника, равна

.

Применим закон Ампера для вычисления взаимодействия двух параллельных бесконечных токов, находящихся на расстоянии b (рисунок 19

Магнитная индукция поля в точке А, создаваемая

первым проводником, равна .

Найдем силу, действующую на единицу длины

второго проводника с учетом того, что . (34) Рисунок 19

Нетрудно проверить, что , то есть при магнитном взаимодействии выполняется третий закон Ньютона.

По закону Ампера определяется направление сил: параллельные токи притягиваются, антипараллельные – отталкиваются.

Формула в СИ взята за основу для определения единицы силы тока – 1 ампер. По международному соглашению принимают, что токи в проводах равны 1 А, если сила. действующая на каждый метр длины одного из проводников на расстоянии 1 м в вакууме равна 2.10^-7 Н/м. Подставляя эти значения в формулу (5), получим , откуда ед. СИ.

Взаимодействие параллельных токов используется в некоторых типах реле, а также учитывается при конструировании соленоидов для получения сильных полей.