Реферат Курсовая Конспект
Гармонический осциллятор. - раздел Физика, КВАНТОВАЯ ФИЗИКА В Классической Физике Гармоническим Осциллятором Называют Частицу, Совершающу...
|
В классической физике гармоническим осциллятором называют частицу, совершающую движения по закону синуса или косинуса. Потенциальная энергия такой частицы U = кх2/2, частота колебаний . Посмотрим, к каким результатам приведет решение уравнения Шрёдингера (a), если его применить к одномерной частице, которая обладает такой потенциальной энергией.
уравнение Шрёдингера для гармонического осциллятора Т.к. случай одномерный, оператор Лапласа Dy =d2y / dx2, потенциальная энергияU = кх2/2. |
Мы не приводим решение этого уравнения, т.к. оно выходит далеко за рамки курса. [xv] Из решения следует, что полная энергия Е такого осциллятора квантуется:
Полная энергия квантового осциллятора n = 0, 1, 2,…,¥ | |
при n = 0 | Эта величина называется нулевой энергией осциллятора. |
По классическим представлениям при Т ® 0 К энергия должна стремиться к 0, решение уравнения Шрёдингера приводит к выводу о существовании нулевой энергии;
даже при абсолютном нуле (Т= 0 К) частица имеет энергию ¹ 0.
На рис. показаны плотности вероятности при различных энергиях Е осциллятора. Если мы спросим себя, а как ведет себя частица, ведь нам всегда хочется наглядно представить процессы. Ответ – не знаем, ведь квантовый объект имеет двойственную природу. Мы можем только сказать, что частица находится в потенциальной яме, имеет определенный набор энергий и, если ее энергия равна, например Е1, то вероятность обнаружить ее в середине ямы равна нулю. При переходе на другой уровень энергия частицы меняется дискретно, и система поглощает или испускает порцию энергии hn.
Существование нулевой энергии следует также из соотношения неопределенности. Действительно.
соотношение неопределенностей | ||
Dх » А | неопределенность в координате примем равной амплитуде А колебаний | |
Dр » р = mv = mw А | неопределенность в импульсе примем равной самому импульсу; максимальная скорость колебаний v = w А | |
Е - максимальная энергия гармонических колебаний (Е =кх2/2, ) | ||
Таким образом, из соотношения неопределенностей следует, что энергия осциллятора равна .
Частица в одномерной потенциальной яме (ящике)
Рассмотрим частицу с массой m, находящуюся в потенциальной яме, например, электрон в металле. Чтобы иметь возможность решить уравнение Шрёдингера введем следующие упрощения.
1).Частица находится в прямоугольной потенциальной яме, внутри ямы потенциальная энергия U постоянна, примем ее равной нулю = 0. Высота стенок ямы ® ¥, т.е. частица не может выйти из ямы (см.рис.).
2). Частица может двигаться только по оси х в пределах ширины ямы а, т.е. 0£ х £ а (одномерная задача).
Запишем уравнение Шрёдингера a для частицы в виде:
[ | Уравнение Шрёдингера для частицы в прямоугольной потенциальной яме |
При решении этого уравнения нам нужно найти пси-функцию y(х) и энергию Е частицы. По форме - это уравнение колебаний. Из математики известно, что решение такого дифференциального уравненияимеет вид: . Для нахождения коэффициентов А и В используем краевое условие , смысл которого в том, что частица не может выйти из ямы.
Отсюда следует: , т.к. sin 0 = 0, а cos 0 = 1 ¹ 0, то В = 0 |
Таким образом, получаем:
· | Решение уравнения ([). Здесь неизвестными пока остаются А и w. |
Величину w найдем из второго краевого условия
А ¹ 0, следовательно, sinwa = 0, и значит wa = np , где n- -целые числа. Отсюда получаем w. |
Вторую неизвестную величину А найдем из условия нормировки.
Смысл этого условия в том, что частица обязательно находится в пределах ширины ямы 0 ¸ а, следовательно, вероятность этого события равна 1. |
Выразим плотность вероятности , используя пси-функцию (·), подставим w, и найдем интеграл. Учтем, что из тригонометрии: 2sin2a = 1- cos2a .
Учитывая, что интеграл равен 1, получим выражение для А:
Зная А и w, найдем окончательный вид решения:
Пси-функция для частицы в одномерной прямоугольной яме, физического смысла не имеет. | |
Плотность вероятности для частицы в одномерной яме - определяет вероятность нахождения частицы на единичном отрезке ямы |
Теперь осталось найти выражение для энергии электрона. Для этого нужно найти вторую производную пси-функции и подставить в уравнение [. Получим:
энергия частицы в одномерной потенциальной яме, |
На рис. показаны энергетические уровни частицы, пси-функция и плотность вероятности для первых трех квантовых состояний. Площади под кривыми плотности вероятности представляют собой вероятности, т.к. .
Что можно сказать о поведении частицы? В зависимости от того, какова ее энергия, вероятность обнаружить частицу различная. Например, при наименьшей энергии Е1 частица пребывает в основном в середине ямы, а при энергии Е2 вероятность обнаружить частицу в середине ямы равна нулю.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
АТОМНАЯ ФИЗИКА ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА КВАНТОВАЯ ФИЗИКА Закономерности этих явлений хорошо объясняются только...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Гармонический осциллятор.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов