Метод наименьших квадратов.

Вернемся к опыту по исследованию упругих свойств металлического стержня. Пусть ре­зультаты опытов изображаются точками на рис.3. Первый же взгляд на график убеждает нас в том, что зависимость удлинения от нагрузки является линейной или почти линейной. На самом деле, прямая, проведенная на рис.3 сплошной линией, не противоречит эксперимен­тальным данным. Им не противоречит, однако, и изогнутая линия. Более того, эта линия даже несколько лучше удовле­творяет экспериментальным данным, чем пря­мая. Мы хотели бы, однако, думать, что истин­ная связь удлинения и на­грузки все-таки являет­ся прямолинейной. Задача сводится к отыска­нию критерия, позволяющего судить о том, яв­ляется ли представление иско­мой зависимости в виде прямой ли­нии достаточно хорошим или экспериментальные данные заставляют отдать предпочтение криволинейной зависимости.

Сформулированная сейчас задача в применении к закону Гука представляется несколько искусственной. В этом случае лучше всего попросту повторить опыт, уменьшив экспери­ментальные ошибки, и вопрос решится сам собой. Встречаются, однако, случаи, когда та­кое повторение опыта является затруднительным или даже невозможным. Так бывает, на­пример, при опытах с редкими частицами в космических лучах или на ускорителях, когда повторение опыта требует нескольких лет работы или попросту оказывается невозможным. Возможно более полная интерпретация имеющихся данных становится в этом случае особенно существенной.

Общий вопрос, который возникает в таких случаях, сводится обычно к следующему. На графике, изображающем некоторую зависимость, точки легли не вполне регулярно. Следует ли предавать значение наблюденным отступлениям от гладкой кривой? Совместима ли с экспериментальными данными гипотеза о том, что искомая зависимость на самом деле является гладкой (или даже прямолинейной) или эти данные указывают на негладкий ход кривой? Исследование проблемы достоверности гипотез производится обычно с помощью критериев значимости. Одним из наиболее удобных критериев значимости является так называемый «критерий c²».

В предыдущем разделе мы рассматривали метод наименьших квадратов, с помощью которого можно, например, провести через экспериментальные точки наилучшую прямую. Исследуем теперь вопрос о том, насколько данные, использованные для проведения этой прямой, согласуются с представлением о том, что рассматриваемая прямолинейная зави­симость действительно имеет место. Единственной мерой, которая может быть использова­на для расчета, является естественно, точность, с которой экспериментальные точки удов­летворяют предполагаемому закону. В методе c² в качестве такой меры принимается сумма квадратов отклонений от предполагаемой зависимости

(22).

Отклонения экспериментальных точек от значений, следующих из принятой гипотезы, выражаются в долях стандартной ошибки данного измерения s(x_i). Найденное значение c² должно быть сопоставлено с теорией. Это делается с помощью таблицы. В таблице для разного числа n степеней свободы приведены значения c² для ряда чисел p. Числом степеней свободы n в этом случае называется число измерений без одного, если гипотеза не содержит определяемых из опыта коэффициентов, число измерений без двух, если из опыта находится один коэффициент, например, наклон прямой и т.д. Для 10 степеней свободы находим из таблицы, что c² =2,6 для р=99, c²=3,9 для р =95, c²=7,3 для р=70 , c² =23,2 для р=1 и т.д. Это означает, что в том случае, если гипотеза справедлива, рассчитанное по (22) значение c² с вероятностью 99% (р=99) окажется больше 2,6, с вероятностью 95% (р=95) больше 3,9, с вероятностью 70% больше 7,3, с вероятностью 1% больше 23,2 и т.д. Пусть мы найдем в результате расчета по формуле (22) c²=3,5. Такое значение c² должно наблюдаться больше чем в 95% случаев; отклонение наших данных от прямолинейной зависимости является в этом случае совершенно несущественным. Если бы мы нашли в результате расчета c² =18, сопоставление с таблицей показало бы нам, что такие отклонения следует ожидать только в 5 % случаев. Существование прямолинейной зависимости и в этом случае нельзя считать исключенным, но оно должно быть поставлено под сомнение. Естественно в этом случае по­вто­рить опыт, чтобы получить более ясный результат. Если бы c² оказалось равно 30 (вероятность получить на опыте такое значение равна 0,1%) можно было бы утверждать, что проверяемая гипотеза почти наверное является ошибочной.

При сравнении отклонений с таблицей обычно применяют следующую терминологию: если найденная из опыта величина c² должна наблюдаться с вероятностью, заключенной между 1% и 5% отклонения называются почти значимыми, если вероятность заключена между 0,1 и 1% - значимыми и, наконец, если вероятность обнаружить найденное значение c² оказывается меньше 0,1%, отклонения являются высокозначимыми. При вероятности большей 5% следует считать, что экспериментальные данные недостаточны для того, чтобы отвергнуть эту гипотезу.

На этом мы заканчиваем краткое изложение методов обработки наблюдений. Более подробные сведения могут быть найдены в специальных книгах.

Распределение c²

Р - вероятность (в%) найти на опыте значение c², большее чем указано в таблице, n – число степеней свободы системы.