ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ.

При объединении атомов в кристаллическое тело структура энергетических уров­ней электронов претерпевает важные изменения. Эти изменения почти не затрагивают наиболее глубоких уровней, образующих внутренние, заполненные оболочки. Зато наруж­ные уровни коренным образом перестраиваются. Указанное различие связано с разным пространственным распределением электронов, находящихся на глубоко лежащих и на верхних энергетических уровнях. Атомы в кристалле тесно “прижаты” друг к другу. Вол­новые функции наружных электронов в существенной мере перекрываются, что приводит к обобществлению этих электронов - они теперь принадлежат не отдельным атомам, а всему кристаллу. В то же время волновые функции внутренних электронов друг с другом практически не перекрываются. Положение этих уровней в кристалле мало отличается от их положения в изоли­рованных атомах.

У одиночных атомов одного и того же эле­мента энергия соответ­ствующих уровней в точности одинакова. При сближении атомов эти энергии начинают расходиться, как это изображено на Рис.1. Расщепление энергети­че­ских уров­ней анало­гично рас­хождению частот ко­лебаний, про­исходя­щему при появ­ле­нии связи между оди­нако­выми маятниками или между электриче­ски­ми колебательными кон­турами, настроен­ными на одну и ту же частоту. Системы “разошедшихся” уров­ней образуют в кристалле разрешенные энергетические зоны, разделенные запрещенными зонами (рис. 1). Ширина зон определяется величиной связи между атомами и не зависит от числа атомов в кристалле. В то же время количество уровней в зоне равно числу атомов и описывается цифрами с десятком или даже с несколькими десятками нулей. Таким образом, расстояние между уровнями оказывается столь незначительным, что говорить о по­ложении отдельных уровней в зоне не имеет смысла. В то же время количество уровней сохраняет вполне ясный смысл, т.к. при сближении атомов число возможных состояний (а, следовательно, и число электронов, которые могут занять эти состояния) не изменяется.

Квантовые числа, которыми характеризуются состояния обобществленных элек­тронов в кристалле, не имеют ничего общего с квантовыми числами электронов в изоли­рованных атомах. В атомах действующее на электроны поле является центральным, так что момент количества движения сохраняется. Момент количества движения служит по­этому основой для квантования: уровни отличаются друг от друга величиной и направлением этого момента.

В твердом теле электрические силы не центральны, иговорить о моменте коли­чества движения не приходится. Основной особенностью электрического поля в кри­сталлах является его периодичность. Квантовые состояния электронов в кристалле различаются импульсом (или, точнее говоря, квазиимпульсом), а значит, направлением и скоростью движения.

Электропроводность кристаллов определяется распределением электронов по уровням.

В изоляторах электроны доверху заполняют последнюю из занятых зон (так назы­ваемую валентную зону). Следующая разрешенная зона (зона проводимости) не содержит электронов. Ширина запрещенной зоны, разделяющей валентную зону и зону проводимо­сти, велика, так что электроны в обычных условиях не могут ее “перепрыгнуть”. В силу симметрии кристалла количество электронов, находящихся в валентной зоне и движу­щихся в противоположные стороны, одинаково - электрический ток отсутствует. В при­сутствии поля ни один из электронов не может изменить своего движения (например, сменить импульс “по полю” на импульс “против поля”) так как нет свободных состояний в зоне.

В металлах электроны лишь частично заполняют последнюю из занимаемых зон, и в ней имеются свободные состояния. В присутствии поля электроны зоны могут зани­мать эти состояния, что равносильно получению электронами импульса “против поля”, и кристалл проводит ток.

К полупроводникам относятся вещества, которые при низких температурах являются изоляторами. Они отличаются от обычных изоляторов шириной запрещенной зоны. Уже при нормальных температурах тепловое движение перебрасывает часть электро­нов из валентной зоны в зону проводимости. При этом электропроводность возникает как в зоне проводимости, так и в валентной зоне. В зоне проводимости она определяется при­сутствующими там электронами (электронная проводимость). В валентной зоне проводи­мость становится возможной из-за появления свободных состояний, часть из которых (соответствующих нужному направлению тока) может быть занята электронами зоны (дырочная проводимость). Величина электропроводности в полупроводниках определяет­ся числом электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне (эти числа в чистых проводниках, конечно, равны друг другу).

Число электронов, находящихся в зоне проводимости, равно произведению числа имеющихся уровней на вероятность их заполнения. Вероятность заполнения уровней оп­ределяется функцией Ферми, которая в нашем случае мало отличается от простой экспо­ненты:

(1),

так как (E–m)ññkT. В формуле (1) Е - энергия уровня в зоне проводимости, m - некоторая константа, носящая названия энергии Ферми. В собственных полупроводниках энергия Ферми лежит вблизи запрещенной зоны (рис.2).

При обычных температурах заняты главным образом уровни, находящиеся у дна зоны проводимости, гак что в качестве энергии Е можно подставить энергию Е_с, соответствующую дну зоны проводимости. При этом вместо полного числа уровней в зоне нужно принимать некоторое эффективное число уровней [11], находящихся вблизи дна зоны. Таким образом, число электронов в зоне проводимости равно

(2)

Вероятность появления дырки в валентной зоне определяется разностью 1-f(E). Поэтому число дырок равно

 

(3)

При преобразованиях формулы (3) было принято во внимание, что энергия верхнего края валентной зоны Е_v меньше m и дробь (Е_v-m)/кТ является большим отрицательным числом. Перемножим формулы (2) и (3) и примем во внимание, что число электронов равно числу дырок:

(4)

Разность Е_c-Е_v равна ширине запрещённой зоны DЕ. Обозначим для краткости произведение

N_{эфф е}N_{эфф р}=С² (5).

Извлекая квадратный корень из (4), получим

(6).

Найдем теперь электропроводность полупроводника. В присутствии поля электроны в зоне проводимости начинают двигаться в сторону, противоположную полю. Средняя величина скорости электронов перестает быть равной нулю, и направлена вдоль поля. При этом вплоть до самых сильных полей (практически до пробоя) справедливо соотношение:

(7),

где v_ср - среднее значение скорости электронов, Е - напряженность электрического поля, m_е - коэффициент пропорциональности, носящий название подвижности электронов.

Применяя формулу (7) к электронам в зоне проводимости и к дыркам в валентной зоне, найдем

(8)

(j - плотность электрического тока).

Подставляя в (8) значение n_e=n_p=n из (6), получим

(9)

где предэкспоненциальный множитель заменен константой А.

Изобразим зависимость электропроводности s от температуры в полулогарифмическом масштабе:

(10)

Формула (10) показывает, что график должен иметь вид прямой линии с наклоном DЕ/2к. Наклон прямой (10) позволяет, таким образом, определить ширину запрещенной зоны DЕ.

Приведенные соображения верны лишь постольку, поскольку электропроводность полупроводника определяется переходами электронов из валентной зоны в зону проводимости, т.е. пока основной вклад в электропроводность вносит собственная проводимость полупроводника. При небольших температурах это обычно не имеет места, т.к. полупроводники всегда содержат примеси. Примесная проводимость полупроводников происходит из-за внедрения в кристалл донорных и акцепторных атомов. Донорными являются атомы 5 периода таблицы Менделеева (напомним, что к типичным полупроводникам при­надлежат кремний и германий - элементы 4 периода). Элементы 5 периода содержат в наружной оболочке лишний по сравнению с германием и кремнием электрон. У атома, вошедшего в состав кристаллической решетки полупроводника, связь этого электрона с атомом ослабляется. Внутри запрещенной зоны появляется поэтому небольшое количество дополнительных уровней (их число равно числу атомов примеси). Уже при нормальных температурах эти уровни оказываются практически полностью ионизированными: электроны уходят с них в зону проводимости.

Акцепторами служат обычно элементы 3 периода таблицы Менделеева. Создаваемые ими локальные уровни также располагаются в запрещенной зоне, но ближе к верхнему краю валентной зоны. Эти уровни заполняются электронами из валентной зоны; в валентной зоне появляются дырки.

В зависимости от чистоты полупроводника примесная проводимость может вносить в электропроводность больший или меньший вклад. Она искажает температурный ход собственной электропроводности. Чтобы правильно определить ширину запрещенной зоны, нужно проделать измерения в широком интервале температур и выбрать участок, где зависимость электропроводности от 1/Т имеет чисто экспоненциальный характер.