Реферат Курсовая Конспект
ВЫВОД ФОРМУЛЫ РИЧАРДСОНА – ДЭШМАНА. - раздел Физика, КВАНТОВАЯ ФИЗИКА Для Вывода Формулы Ричардсона-Дэшмана Найдем Количество Элект...
|
Для вывода формулы Ричардсона-Дэшмана найдем количество электронов, вылетающих из катода в единицу времени. Необходимо при этом учитывать, что в металле распределение электронов по энергиям подчиняется закону Ферми-Дирака:
(1),
где n(e) есть среднее число электронов с энергией e, m – энергия Ферми. Как видно из (1) при температуре Т=0 все состояния с e<m заняты (n(e)=1), а с e>m – пусты (n(e)=0). Таким образом, m представляет собой максимальную энергию, которой могут обладать электроны в металле при нулевой температуре. В большинстве металлов энергия Ферми имеет порядок 1 эВ[13]. Если T>0, то электроны могут обладать энергиями, превышающими энергию Ферми, однако, как видно из (1), энергия этих электронов отличается от m лишь на величину порядка kT. Поскольку обычно T составляет величину не превышающую 2500К–3000К, то kT<<m. Число же электронов с энергиями, заметно превышающими m, ничтожно мало. Все это иллюстрируется рис. 1, где пунктирной линией изображена функция распределения Ферми-Дирака при T=0, а сплошной – при T>0.
Тот факт, что электроны не могут самопроизвольно выйти из металла, означает, что они удерживаются в нем некоторыми силами. Это можно трактовать так, что электроны металла находятся в потенциальной яме, высота стенок которой достаточно велика для того, чтобы электроны не могли выскочить из нее. Все это можно схематически изобразить в виде графика зависимости потенциальной энергии электрона от его координат. Этот график изображен на рис. 2, где координата х отсчитывается в направлении, перпендикулярном поверхности металла. Металлу соответствуют отрицательные x, вакууму - положительные.
Поскольку наибольшая кинетическая энергия электронов при Т=0 равна энергии Ферми m, то работа, которую необходимо совершить для удаления электрона из металла, равна разности между высотой потенциального барьера и энергией Ферми. Эта величина носит название работы выхода. Ее записывают как e×j, где e‑ величина заряда электрона, а j тогда имеет размерность потенциала. Потенциал j для большинства металлов составляет величину от вольта до нескольких вольт. Здесь же на графике изображена функция распределения Ферми-Дирака, показывающая, как изменяется число электронов с ростом их энергии.
С ростом температуры возрастает количество электронов с высокими энергиями. Те электроны, энергия которых превышает энергию Ферми на величину большую работы выхода, могут выйти из металла. Это и есть термоэлектронная эмиссия.
Таким образом, для нахождения тока термоэлектронной эмиссии необходимо найти поток электронов с достаточно большими энергиями в направлении поверхности металла. Поскольку силы, удерживающие электроны в металле, направлены перпендикулярно его поверхности, то для нахождения тока эмиссии следует найти количество электронов, у которых скорость в направлении поверхности металла vx такова, что:
(2).
Проекции скорости частицы на направление, параллельное поверхности металла vx и vy, могут быть при этом любыми.
Движение электронов в металле подчиняется законам квантовой механики, согласно которым всякая частица обладает также и волновыми свойствами. Длина волны l (волна Де Бройля), которой обладает частица, равна, как известно:
l=2p/p,
где p - импульс частицы, - постоянная Планка. Поскольку электроны в металле находятся в стационарном состоянии, то это означает, что длины волн электронов могут иметь лишь некоторые определенные значения. Все это приводит к тому, что в единице объема количество электронов с заданным значением импульса p оказывается равным:
(3).
Здесь dpx, dpy, dpz – значения интервалов, в пределах которых заданы значения проекций импульса. Энергия электрона e=, где m – его масса.
Если (3) проинтегрировать при T=0 по dpx, dpy, dpz в пределах от –¥ до +¥, то мы получим соотношение между концентрацией электронов в металле n и энергией Ферми m:
(4).
При T>0 значение m мало отличается от (4).
Найдем теперь плотность тока термоэлектронной эмиссии. Для этого запишем количество электронов, имеющих проекции импульса px, py, pz и достигающих площадки площади dS на поверхности металла за некоторое малое время dt:
(5).
Для нахождения тока необходимо умножить dN на заряд электрона e. Как уже было отмечено, выходят за пределы поверхности металла лишь те электроны, у которых , или px>p0, где:
p0=.
Интегрируя (5) по dpx в пределах от p0 до бесконечности, а по dpy и dpz от минус до плюс бесконечности, получим плотность тока эмиссии:
(6).
Вычисление (6) нетрудно произвести в случае, когда ej>>kT, что обычно имеет место в реальных условиях работы катода. В этом случае показатель экспоненты оказывается большим и единицей по сравнению с экспонентой можно пренебречь. Тогда интеграл превращается в значительно более простой:
(7).
Интегрирование по dpx выполняется элементарно, если сделать замену переменных , после чего получаем:
.
Интегралы по dpy и dpz одинаковы и представляют собой известный интеграл Пуассона:
,
в котором a =1/2mkT.
Таким образом, находим плотность тока эмиссии:
(8).
Полученный результат (8) представляет собой известную формулу Ричардсона – Дэшмана, в которой множитель, стоящий перед T2 имеет величину 120,4 ампер/см2×град2, что заметно больше тех величин, которые обычно наблюдаются в экспериментах с термоэлектронной эмиссией с поверхности чистых металлов. Это расхождение объясняется тем, что часть электронов отражается от поверхности металла. В соответствии с этим необходимо умножить плотность тока в (8) на множитель 1-r, где r - коэффициент отражения электронов от поверхности металла. Что касается вычислений значения коэффициента r, то никаких надежных способов такого вычисления нет, поскольку результат определяется индивидуальными свойствами поверхности. Итак, с учетом возможного отражения электронов от поверхности металла получаем:
.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
филиал... московского инженерно физического института... государственного университета...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: ВЫВОД ФОРМУЛЫ РИЧАРДСОНА – ДЭШМАНА.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов