Учебно-методической комиссией Физика: курс лекций/ Г.В. Яборов, С.Н. Кравченко. – Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2009. – Ч. 2. – 63 с. Глава 1. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
УДК 530 (075.8)
Я136
Одобрено
учебно-методической комиссией
машиностроительного факультета
филиала ЮУрГУ в г. Миассе
Рецензенты:
Б.Г. Валиев, Б.М. Тюлькин
| Я136 | Яборов, Г.В. Физика: курс лекций/ Г.В. Яборов, С.Н. Кравченко. – Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2009. – Ч. 2. – 63 с. |
| Учебное пособие предназначено для студентов очно-заочной формы обучения всех специальностей. В пособии представлены разделы физики: «Электростатика», «Постоянный ток». Также имеются необходимые разделы математики, которые используются при получении тех или иных законов. В приложении содержатся некоторые справочные данные. УДК 530 (075.8) |
© Издательский центр ЮУрГУ, 2009
ОГЛАВЛЕНИЕ
| ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………..…………….…. Глава 1. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ 1.1. Закон сохранения электрического заряда……………………………………. 1.2. Закон Кулона…………………………………………………………………… 1.3. Напряженность электрического поля………………………………………… 1.4. Потенциал электрического поля……………………………………………… 1.5. Поле электрического диполя в вакууме............................................................ 1.6. Теорема Гаусса–Остроградского для электростатического поля в вакууме. 1.6.1. Электростатическое поле заряженной сферы .............................................. 1.6.2. Электростатическое поле заряженного шара................................................ 1.6.3. Электростатическое поле заряженной бесконечной плоскости.................. 1.6.4. Электростатическое поле заряженного бесконечно длинного цилиндра и тонкой заряженной нити......................................................................................... Глава 2. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ 2.1. Дипольные моменты молекул диэлектрика...................................................... 2.1.1. Неполярный диэлектрик во внешнем электростатическом поле................. 2.1.2. Полярный диэлектрик во внешнем электростатическом поле..................... 2.2. Поляризация диэлектриков................................................................................. 2.3. Теорема Гаусса–Остроградского для электростатического поля в изотропной диэлектрической среде......................................................................... 2.4. Закон Кулона для электростатического поля в изотропной диэлектрической среде.............................................................................................. 2.5. Условие для электростатического поля на границе раздела двух изотропных диэлектрических сред.......................................................................... 2.6. Сегнетоэлектрики................................................................................................ Глава 3. ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ 3.1. Распределение зарядов в проводнике................................................................ 3.2. Электрическая емкость уединенного проводника........................................... 3.3. Взаимная электрическая емкость двух проводников. Конденсаторы............ 3.4. Энергия заряженных проводников и электростатического поля................... Глава 4. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В МЕТАЛЛАХ, РАСТВОРАХ ЭЛЕКТРОЛИТОВ И ГАЗАХ 4.1. Классическая теория электропроводности металлов....................................... 4.2. Законы постоянного тока в проводниках 4.2.1. Закон Ома для полной цепи............................................................................. 4.2.2. Правила Кирхгофа............................................................................................ 4.3. Постоянный ток в жидкостях (растворах электролитов)................................ 4.4. Постоянный ток в газах...................................................................................... Глава 5. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В ВАКУУМЕ................................................... 5.1. Работа выхода электрона из металла................................................................ 5.2. Электронно-вакуумный диод............................................................................. 5.3. Электронно-вакуумный триод........................................................................... Глава 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RC-ЦЕПЯХ 6.1. Заряд и разряд конденсатора............................................................................. 6.2. Конденсатор в цепи гармонического переменного тока................................ 6.3. RC - цепь в переменном синусоидальном токе................................................ ПРИЛОЖЕНИЕ. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ РАЗДЕЛОВ МАТЕМАТИКИ.......................................................................................................... |
ВВЕДЕНИЕ
Курс физики, читаемый в технических университетах является базовым курсом, качественное освоение которого необходимо студентам для изучения специальных курсов. Многолетний опыт чтения лекций по физике на очно-заочном отделении показал необходимость подготовки учебного пособия по курсу лекций, по многим причинам. Главными из которых, авторы считают следующие:
1. Ограниченность студентов заочного отделения во времени в период установочной сессии;
2. Недостаточный уровень остаточных знаний у студентов по математике, который необходим в изучении курса физики.
Исходя из этого, авторами было разработано учебное пособие, в котором отражены более подробно выводы основных законов физики, на основании математических методов. В приложении к учебному пособию изложены краткие сведения из математики, необходимые при выводе тех или иных закономерностей.
Глава 1. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
Закон сохранения электрического заряда
Взаимодействие между электрически заряженными частицами или телами, движущимися произвольным образом относительно инерциальной системы координат,… Электрическое поле неподвижных электрических зарядов, осуществляющее… В природе существуют два вида зарядов: положительные и отрицательные. Разноименно заряженные тела притягиваются, а…Закон Кулона
Закон Кулона определяет силу взаимодействия между двумя неподвижными точечными зарядами. В скалярном виде он записывается следующим образом: … где F – сила взаимодействия двух неподвижных зарядов; q1 и q2 – значение… В системе единиц СИ: сила измеряется в Ньютонах, расстояние – в метрах, заряд – Кулонах. Коэффициент…Напряженность электрического поля
Электростатическое поле не дано человеку в ощущении. Это особый вид материи, наличие которой можно определить с помощью инструмента. Инструментом в… Количественной характеристикой силового действия электрического поля на… где – сила, действующая на пробный заряд q, помещенный в данную точку пространства. Размерность напряженности [E] –…Потенциал электрического поля
Из закона Кулона и определения напряженности электрического поля следует, что напряженность электрического поля убывает обратно пропорционально… Можно определить скалярную величину, отвечающую за энергию или мощность… Потенциалом электрического поля в данной точке называется отношение работы поля, необходимой для удаления из данной…Поле электрического диполя в вакууме
Электрическим диполем называется простейшая система из двух одинаково разноименно заряженных точечных зарядов, находящийся на расстоянии l,… Дипольным моментом называется векторная величина: . (14) … Вычислим напряженность и потенциал электростатического поля, генерируемого диполем: на оси диполя на расстоянии r от…Для электростатического поля в вакууме
Вычисление напряженностей простейших электростатических полей, генерируемых точечными зарядами решается в рамках закона Кулона. Однако вычисление… Применим теорему Гаусса-Остроградского к вычислению напряженностей…Глава 2. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ
Дипольные моменты молекул диэлектрика
Диэлектриками или изоляторами называются вещества, которые при обычных условиях не проводят электрический ток. Согласно классической теории, в диэлектриках в отличие от проводников нет… Все молекулы диэлектрика электрически нейтральны: суммарный заряд электронов и атомных ядер, входящих в состав…Поляризация диэлектриков
Если полярный диэлектрик не находится во внешнем электрическом поле, то в результате теплового движения молекул векторы их электрических дипольных… В неполярном диэлектрике в отсутствии внешнего электрического поля равны нулю… При внесении диэлектрика во внешнее электрическое поле происходит поляризация диэлектрика. При поляризации диэлектрика…В изотропной диэлектрической среде
При рассмотрении электрического поля в веществе различают два типа электрических зарядов: свободные и связанные. Связанными зарядами называют заряды, которые входят в состав атомов и молекул,… Электрическое поле в диэлектрической среде создается как свободными, так и связанными зарядами, поэтому теорема…Закон Кулона для электростатического поля
В изотропной диэлектрической среде
В изотропной диэлектрической среде вектор поляризованности пропорционален вектору напряженности внешнего электростатического поля (см. формулу… где – относительная диэлектрическая проницаемость среды. Относительная диэлектрическая проницаемость среды показывает во сколько раз электростатическое поле в диэлектрике…Условие для электростатического поля
На границе раздела двух изотропных диэлектрических сред
Из условия потенциальности электростатического поля, прямым следствием которого является выбор направления линий напряженности электростатического поля и теорема Гаусса–Остроградского, следует вторая важная теорема для электростатического поля. Это теорема о циркуляции вектора напряженности электрического поля вдоль произвольной линии. Циркуляцией вектора по линии называется число проекций вектора, пронизывающих эту линию. Вектор напряженности электрического поля направлен всегда по нормали к касательной к точке любой произвольной линии и проекция его на нее дает точку или нуль всегда. Поэтому циркуляция вектора напряженности электростатического поля:
 .
| (30) |
Из теоремы о циркуляции следует условие для электростатического поля на границе двух изотропных сред. На рис. 5 изображено прохождение вектора напряженности на плоской границе раздела двух сред.
ε1
i 
 |
r
ε2
Рис. 5. Прохождение вектора напряженности электростатического поля на границе двух изотропных диэлектрических сред
Вектор напряженности в первой среде , имеющий относительную диэлектрическую проницаемость ε1, падает на границу раздела под углом i. Углы измеряются всегда от нормали к касательной в точке падения. Разложим вектор падения на две компоненты: нормальную и тангенциальную . Нормальная компонента параллельна нормали к касательной в точке падения, а тангенциальная идет по касательной в точке падения. Из правила сложения векторов 
. Из условия (30) тангенциальная компонента вектора напряженности пройдет через границу раздела двух сред без изменения:
 .
| (31) |
Если на поверхности раздела нет свободных зарядов, то согласно теореме Гаусса–Остроградского (28):
 .
| (32) |
Тогда
 ,
|
при переходе через границу раздела двух сред, на которой нет поверхностных свободных зарядов, нормальная составляющая вектора электрической индукции сохраняется. Или для векторов напряженности:
 .
|
При этом вектор напряженности во второй среде испытывает преломление по отношению к вектору напряженности в первой среде :
 .
|
Сегнетоэлектрики
В отсутствии внешнего электрического поля весь объем сегнетоэлектрика самопроизвольно разбит на небольшие области, которые поляризованы до… Поляризация сегнетоэлектриков во внешнем поле состоит, во-первых, в смещении… Для сегнетоэлектров характерно явление диэлектрического гистерезиса (запаздывания), состоящее в различии значений…Глава 3. ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Распределение зарядов в проводнике
Электронные свойства проводников в условиях электростатики определяются поведением электронов проводимости во внешнем электростатическом поле. В… Перераспределение зарядов в проводнике под влиянием внешнего… Для проводника в электростатическом поле выполняются следующие условия.Электрическая емкость уединенного проводника
Уединенным называется проводник, который находится столь далеко от других тел, что влиянием их электрических полей можно пренебречь. Характер… Потенциал проводника, препятствует переносу заряда на проводник. Потенциал… где r – расстояние от малого элемента dS поверхности проводника до какой-либо фиксированной точки на поверхности…Взаимная электрическая емкость двух проводников. Конденсаторы
Рассмотрим систему, состоящею из двух проводников, заряды которых равны и противоположны по знаку или один заряжен, а другой нет. Если проводники… Взаимная емкость двух проводников зависит от их формы, размеров, взаимного… Практический интерес представляет система из двух проводников, форма и взаимное расположение которых таковы, что…Энергия заряженных проводников и электростатического поля
В этом разделе всюду предполагается, что среда, в которой находятся заряженные тела и создано электрическое поле, электрически изотропная и не… Нанесение на проводник заряда связано с совершением работы против сил Кулона… Здесь W – потенциальная энергия уединенного проводника. Обозначение потенциальной энергии буквой W вместо устоявшейся…Глава 4. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В МЕТАЛЛАХ, РАСТВОРАХ ЭЛЕКТРОЛИТОВ И ГАЗАХ
Классическая теория электропроводности металлов
Нормальный металл, т.е. металл, обладающий электрическим сопротивлением, при помещении его в электрическое поле ведет себя иначе, чем диэлектрик. Металлы, в отличие от диэлектриков, как известно, проводят электрический ток. Носителями зарядов в металлах являются свободные электроны. В классической теории электропроводности металлов, металл, находящийся в кристаллическом состоянии, представляет ионный остов кристаллической решетки, внутри которого двигаются свободные электроны. В рамках такого представления о металле, можно оценить концентрацию свободных электронов в металле. Если предположить, что каждый атом отдает как минимум по одному электрону с внешней электронной оболочки в свободный электрон, и расстояния между атомами (период кристаллической структуры) a»0,5 нм, то объемная концентрация электронов проводимости:
 .
|
Концентрация электронов проводимости в металле громадная. Поэтому, при помещении металла в электрическое поле, свободные электроны будут двигаться против направления напряженности электрического поля, и в металле, как говорят, потечет электрический ток.
Электрическим током называют упорядоченное движение заряженных частиц.
Силой тока, называют отношение заряда, прошедшего через проводник в единицу времени:
 .
|
Сила тока измеряется в амперах. Сила тока в 1 А, это такая сила тока, при которой по проводнику проходит заряд в 1 Кл, за 1 с. Исторически сложилось так, что за направление силы тока принимают направление по вектору напряженности внешнего электрического поля, породившего ток. Т.е. от положительного полюса к отрицательному, и вектор силы тока рисуют от «плюса» к «минусу». Хотя истинное направление движения электронов от отрицательного полюса, к положительному, в силу того, что заряд электрона отрицательный.
Другой важной характеристикой является плотность тока. Плотностью тока называется отношение силы тока к площади поперечного сечения проводника:
 .
|
Размерность плотности тока [j] – А/м2, для удобства в технике, плотность тока измеряют в амперах на квадратный миллиметр. Вектор плотности направляют в направлении истинного движения заряженных частиц. Для проводников от «минуса» к «плюсу». Следует отметить, что протекающий по проводнику ток совершает работу, которая в силу закона сохранения энергии, выделяется в виде тепла. Поэтому, для каждого провода существует номинальная, максимальная и критическая плотности тока. Применительно к изолированным проводам: номинальная плотность тока, это такая плотность тока, при которой провод практически не нагревается; максимальная – плотность тока, при которой нагрев проводника не вызовет разрушение изоляции; а критическая – плотность тока, при которой разрушается изоляция или расплавляется проводник, если он не имеет изоляции или температура разрушения изоляции выше температуры плавления материала проводника. Данные о номинальной, максимальной и критической плотностях тока для конкретных проводов приводятся в электротехнических справочниках.
Рассмотрим цилиндрический проводник, помещенный в внешнее электрическое поле, изображенный на рис. 8.
 |
S
 |
+ –
|
Рис.8. Пояснение к выводу закона Ома и определению направлений
векторов силы и плотности тока
Несложно показать, что плотность тока в проводнике вычисляется по формуле:
 ,
| (34) |
где n – объемная концентрация электронов проводимости в металле, e – заряд электрона, <v> – средняя скорость электронов в направлении движения в внешнем электрическом поле, называемой скоростью дрейфа электронов. Средняя скорость электронов в направлении тока много меньше тепловой скорости движения электронов. Например, при критических плотностях тока в металлах (≈100 A/мм2) и температуре 20 oC в рамках классической физики, эти скорости равны:
 .
|
Если предположить, что электрон в металле, двигаясь под действием внешнего электрического поля, рассеивается (теряет свою скорость) только на ионном остове кристалла и рассеяние абсолютно не упругое (электрон теряет свою дрейфовую скорость до нуля, тем самым, отдавая энергию в тепловые колебания кристалла), то можно говорить о длине свободного пробега электрона в металле (<l>) и о времени свободного пробега (<τ>). В идеальном кристалле эти величины должны быть одинаковы для всех электронов проводимости, а в реальных кристаллах, можно говорить о некоторых средних величинах длин и времени свободного пробега, поэтому и обозначаются они в угловых скобках.
В соответствии с вторым законом Ньютона и определением напряженности электрического поля, электрон в металле в направлении тока должен двигаться равноускоренно. Начинать движение из состояния покоя, достигнув максимальной дрейфовой скорости рассеиваться на ионном остове до нулевой скорости и снова повторять данный вид движения. Тогда, второй закон классической механики для электрона проводимости:
 ,
| (35) |
где me – масса электрона; a – ускорение электрона; e – заряд электрона; E – напряженность внешнего электрического поля.
Из уравнений кинематики равноускоренного движения:
 .
| (36) |
Подставляя ускорение из (35) в (36) получаем:
 .
| (37) |
Подстановка дрейфовой скорости электронов (37) в плотность тока (34) дает закон Ома в дифференциальной форме:
 ,
| (38) |
или
 .
| (39) |
Получили, что плотность тока в проводнике пропорциональна напряженности электрического поля. Константу 
– называют удельной проводимостью проводника.
Не сложно из закона Ома в дифференциальной форме получить закон Ома в интегральной форме, или закон Ома для участка цепи. Напряжение на концах проводника, отнесенное к его длине будет по определению напряженностью электрического поля в проводнике. Подставив в (39) определение плотности тока:
 .
|
Новую константу 
называют проводимостью проводника, а ей обратную величину – R – сопротивлением проводника, а константу 
– удельным сопротивлением материала.
В классической записи, закон Ома для участка цепи:
 ,
| (40) |
где I – сила тока в проводнике; U – напряжение на концах проводника; R – сопротивление проводника. Размерность сопротивления [R] – Ом, удельного сопротивления [ρ] – Ом∙м.
Удельное сопротивление материалов является главной электрической характеристикой проводника. Значения удельного сопротивления приведены в физических и электротехнических справочниках. Зная удельное сопротивление материала, можно рассчитать сопротивление проводника длиной l и площадью S:
 .
|
Следует отметить, что закон Ома получен теоретически в рамках классической теории электропроводности металлов и в общем виде не выполняется на практике. Главным условием, для практической выполнимости закона Ома будет малая плотность тока в проводнике. Для металлов, закон Ома экспериментально подтверждается при плотностях тока порядка ампера на квадратный миллиметр. Вторым существенным недостатком классической теории электропроводности металлов является то, что она не может объяснить ряд экспериментальных фактов, в частности, зависимость сопротивления металлов от температуры.
Как было отмечено выше, удельное сопротивление металлов имеет порядок 10–8 Ом∙м. Например: медь – ρ=17 нОм·м; алюминий – ρ=26 нОм·м; железо – ρ=98 нОм·м. В рамках классической теории электропроводности можно оценить электрические свойства проводника. Сделаем это для меди, занимающей второе место по проводимости после серебра.
Задачу поставим следующим образом: оценить среднее время свободного пробега, длину свободного пробега электронов проводимости для меди (Плотность меди D=8900 кг/м3; молярная масса – Mr=0,0635 кг/моль; удельное сопротивление – ρ=17 нОм·м, температура проводника – 20 оС).
Принимая, что медь отдает один электрон на элементарную ячейку на проводимость тока, оценим объемную концентрацию электронов проводимости:
 .
|
Время свободного пробега:
 .
|
Длина свободного пробега электрона:
 .
|
Получается, что длина свободного пробега электронов проводимости порядка десяти межатомных расстояний. Экспериментальные значения оказываются на два или три порядка выше.
Из закона Ома для участка цепи вытекают формулы вычисления общего сопротивления при последовательном и параллельном соединении сопротивлений. Полученные устройства из соединенных сопротивлений иногда называют «магазином» сопротивлений.
При последовательном соединении N сопротивлений, общее электрическое сопротивление цепи равно сумме сопротивлений:
 .
| (41) |
При параллельном соединении N сопротивлений складываются проводимости:
 .
| (42) |
Законы постоянного тока в проводниках
Полной электрической цепью называется цепь, составленная из источника… Вся работа постоянного тока идет в тепло. Количество теплоты, выделяющиеся на сопротивлении, определяется законом…Постоянный ток в жидкостях (растворах электролитов)
Универсальным растворителем, как известно, является вода. Сама по себе молекула воды должна быть ковалентным полярным диэлектриком. Но в виду… В теории кинетики химических реакций определяется константа диссоциации K,… Натуральный логарифм концентрации ионов водорода, взятый с обратным знаком, в водном растворе называют водородным…Постоянный ток в газах
Газы, в отличие от металлов и электролитов, состоят из атомов и молекул. В газах атомы и молекулы находятся в обособленном состоянии и,… При обычных условиях газ не проводит ток. Газ становится проводящим, если… Работа ионизации зависит от химической природы газа и энергетического состояния вырываемого электрона в ионизируемом…Глава 5. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В ВАКУУМЕ
Электрический ток в вакууме может быть обеспечен электронами и ионами. В газе, даже разряженном, электроны и ионы поглощаются веществом, вызывая его ионизацию. В вакууме же препятствий для движения потока электронов или ионов нет, кроме как их самих. Электронные приборы, в которых ток обеспечен потоком электронов в вакууме – называют электронно-вакуумными приборами. К электронно-вакуумным приборам относятся: радиолампы, кинескопы, ускорители электронов (бетатроны), электронные микроскопы и т.д. Радиолампы обладают рядом преимуществ по сравнению с полупроводниковыми приборами, поэтому до сих пор находят применение в приемно-усилительной аппаратуре специального назначения.
Работа выхода электрона из металла
Наименьшую работу, которую должен совершить электрон проводимости для выхода из металла в вакуум, называют работой выхода электрона из металла.… Испускание электронов твердыми или жидкими телами называется электронной… В зависимости от механизма испускания эмиттером электронов, различают следующие виды электронной эмиссии:Электронно-вакуумный диод
Электронно-вакуумный триод
При отсутствии напряжения между катодом и сеткой UC лампа работает как диод. Если между катодом и сеткой подать напряжение обратной полярности (на…Глава 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RC-ЦЕПЯХ
Заряд и разряд конденсатора
Конденсатор не проводит постоянный ток. При подключении к источнику тока разряженного конденсатора, он зарядится, и ток по нему, в дальнейшем, не… r КРис. 18. Передаточные характеристики идеального и реального ключей
Здесь и далее приведем расчеты схем с идеальным ключом, наиболее приближенные к реально наблюдаемым сигналам. Следует отметить, что при подаче коротко-периодического импульса с бесконечно малой длительностью по реактивным цепям, возможно прохождение импульса без изменения, т.е. без диссипации энергии на активной нагрузке (сопротивлении).
При включении ключа (изначально конденсатор не заряжен) конденсатор начнет заряжаться и по цепи потечет ток. Уравнения зависимости заряда от времени при перезарядке конденсатора следующие:
  .
| (55) |
 .
| (56) |
 .
| (57) |
Подставляя в (55) определение силы тока, получаем неоднородное дифференциальное уравнение:
 .
| (58) |
Решаем однородное уравнение:
 .
|
методом разделения переменных
 .
|
Решение неоднородного уравнения (58) будем искать в виде:
 .
| (59) |
После подстановки в (58) 
. После подстановки начальных условий (56) в (59) находим константу 
.
Решение дифференциального уравнения (58) имеет вид:
 .
| (60) |
При разряде конденсатора на внешнюю нагрузку r при размыкании ключа по схеме, приведенной на рис. 19. Уравнение (58) превращается в однородное, и имеет решение:
 .
| (61) |
К
 |
ε С r
 |
Рис. 19. Схема разряда конденсатора
Как видно, в обеих случаях в цепи наблюдается изменение во времени заряда, следовательно, через конденсатор протекает переменный во времени ток. Сила тока, при заряде и разряде конденсатора, зависит от времени:
 .
|
Конденсатор в цепи гармонического переменного тока
Если подключить конденсатор параллельно к генератору переменного синусоидального (гармонического) тока, то через конденсатор будет протекать… Генератор синусоидального тока выдает в сеть гармонически изменяющуюся ЭДС в… Напряжение на конденсаторе будет равно ЭДС генератора: .RC-цепь в переменном синусоидальном токе
Иные процессы происходят при включении последовательно конденсатору сопротивления в цепь генератора синусоидального тока. Схема включения приведена…Рис. 20. Схема включения RC-цепи в сеть гармонического тока
Дифференциальные уравнения остаются аналогично уравнению (55) для цепи постоянного тока, только в правой части подставляется функция генератора:
 .
| (65) |
Решение данного уравнения будем искать в виде 
применяя формулы комплексной арифметики (см. приложение). Подстановка пробного решения в уравнение (65) дает:
 .
|
Применяя формулы преобразования тригонометрических функций, имеем с левой части сумму двух синусоид в одну синусоиду с права:
 .
| (66) |
Деля (66) на циклическую частоту Ω и подставляя в место 
реактивное сопротивление конденсатора синусоидальному току 
:
 ,
|
имеем:
 .
| (67) |
Далее выражаем из (67) q0 и получаем решение уравнения (65):
 .
|
Для дифференцирующей цепи, изображенной на рис. 19 а) имеем, что напряжение на конденсаторе равно:
 ,
|
а для интегрирующей цепи (см. рис. 19 б) напряжение на резисторе:
 .
|
Из приведенных выражений видно, что в первом случае напряжение на конденсаторе пропорционально производной от напряжения генератора, поэтому RC-цепочку называют дифференциирующей; а в другом – напряжение на сопротивлении пропорционально интегралу от функции генератора, и эту цепь называют интегрирующей. В дальнейшем, будет более подробно рассмотрено рассмотрение прохождения переменного тока через реактивно-активные цепи.
ПРИЛОЖЕНИЕ
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ РАЗДЕЛОВ МАТЕМАТИКИ