Требования к математическим моделям и численным методам в САПР
Требования к математическим моделям и численным методам в САПР - раздел Механика, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ К Математическим Моделям Предъявляются Требования Универсальности, Адекватнос...
К математическим моделям предъявляются требования универсальности, адекватности, точности и экономичности.
Степень универсальности ММ характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта. Математическая модель отражает лишь некоторые свойства объекта. Так, большинство ММ, используемых при функциональном проектировании, предназначено для отображения протекающих в объекте физических или информационных процессов, при этом не требуется, чтобы ММ описывала такие свойства объекта, как геометрическая форма составляющих его элементов. Например, ММ резистора в виде уравнения закона Ома характеризует свойство резистора пропускать электрический ток, но не отражает габариты резистора, как детали, его цвет, механическую прочность, стоимость и т. п.
Точность ММ оценивается степенью совпадения значений параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью оцениваемой ММ. Пусть отражаемые в ММ свойства оцениваются вектором выходных параметров . Тогда, обозначив истинное и рассчитанное с помощью ММ значения j-го выходного параметра через и соответственно, определим относительную погрешность расчета параметра как
(2)
Получена векторная оценка . При необходимости сведения этой оценки к скалярной используют какую-либо норму вектора , например
(3)
Адекватность ММ - способность отображать заданные свойства объекта с погрешностью не выше заданной. Поскольку выходные параметры являются функциями векторов параметров внешних Q и внутренних X, погрешность зависит от значений Q и X. Обычно значения внутренних параметров ММ определяют из условия минимизации погрешности в некоторой точке Qном пространства внешних переменных, а используют модель с рассчитанным вектором X при различных значениях Q. При этом, как правило, адекватность модели имеет место лишь в ограниченной области изменения внешних переменных - области адекватности (ОА) математической модели:
,
где - заданная константа, равная предельно допустимой погрешности модели.
Область адекватности - область в пространстве параметров, в пределах которой погрешности модели остаются в допустимых пределах. Например, область адекватности линеаризованной модели поверхности детали определяется системой неравенств
,
где и - допущенная и предельно допустимая относительные погрешности моделирования поверхности, максимум берется по всем координатам и контролируемым точкам; , , i-я координата j-й точки поверхности в объекте и модели соответственно.
В большинстве случаев области адекватности строятся в пространстве внешних переменных. Так, область адекватности модели электронного радиоэлемента обычно выражает допустимые для применения модели диапазоны изменения моделируемых температур, внешних напряжений, частот.
Экономичность ММ характеризуется затратами вычислительных ресурсов (затратами машинных времени ТМ и памяти ПМ) на ее реализацию. Чем меньше ТМ и ПМ тем модель экономичнее. Вместо значений ТМ и ПМ, зависящих не только от свойств модели, но и от особенностей применяемой ЭВМ, часто используют другие величины, например: среднее количество операций, выполняемых при одном обращении к модели, размерность системы уравнений, количество используемых в модели внутренних параметров и т. п.
Требования высоких точности, степени универсальности, широкой области адекватности, с одной стороны, и высокой экономичности, с другой стороны, противоречивы. Наилучшее компромиссное удовлетворение этих противоречивых требований зависит от особенностей решаемых задач, иерархического уровня и аспекта проектирования. Это обстоятельство обусловливает применение в САПР широкого спектра математических моделей.
Аналогичные требования по точности и экономичности фигурируют при выборе численных методов решения уравнений модели.
ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
ВВЕДЕНИЕ. 2
1 КЛАССИФИКАЦИЯ И МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ ММ.. 3
1.1 Классификация математических моделей. 3
1.2 Методы получения ММ... 6
1.3 Требования к м
Методы получения ММ
Основными методами получения ММ объектов на макроуровне являются:
· Обобщенный метод;
· Табличный метод;
· Узловой метод;
· Метод переменных состояний.
Методика получения математических моделей элементов
В общем случае процедура получения математических моделей элементов включает в себя следующие операции:
1. Выбор свойств объекта, которые подлежат отражению в модели. Этот выбор основан на
Постановка задачи
Математические модели на микроуровне, называемым распределенными, представлены дифференциальными уравнениями в частных производных вместе с краевыми условиями. Проектирование м
Краевые условия
Уравнения (1.2), (1.4), (1.6), (1.7) имеют множество решений. Для получения единственного решения необходимо задавать краевые условия (сведения об искомых непрерывных функциях на границах ра
Приближенные модели объектов на микроуровне
Точное решение краевых задач удается получить лишь для немногих частных случаев. Поэтому общий способ их решения, в том числе и в САПР, заключается в использовании различных приближенных моделей. В
Метод конечных разностей
В САПР решение дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений с частными производными выполняется численными методами. Эти методы основаны на дискретизации независимых переменных - их пред
Построение сетки в заданной области
В МКР пользуются, как правило, регулярные сетки, шаг которых либо постоянен, либо меняется по несложному закону. Ниже на рис. 1 приведен пример построения сеток в МКР.
Для одномерных облас
Метод конечных элементов
В настоящее время метод конечных элементов (МКЭ) является одним из наиболее популярных методов решения краевых задач в САПР. В математическом отношении метод относится к группе вариационно-разностн
Метод, основанный на вариационной постановке задачи
Метод, основанный на вариационной постановке задачи, требует минимизации некоторого специально подобранного функционала, который связан с физическим смыслом задачи. Подбор функционала являет
Метод Галеркина
Метод Галеркина - другой широко известный метод вычисления вектора узловых значений - представляет собой частный случай более общего метода взвешенных невязок. Основным преимуществ
Метод граничных элементов
При решении краевых задач приближенные модели технических объектов можно строить на основе интегральных уравнений. При этом первый шаг на пути к решению состоит в переходе от дифференциальных уравн
Дискретизация границы рассматриваемой области
Для приближенного решения (5) производится дискретизация границы рассматриваемой области. Аналогично МКЭ разбиение границы на элементы можно производить различными способами. В простейшем случае гр
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ АНАЛИЗА ОБЪЕКТОВ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Использование ММ объекта в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных можно только для очень простых технических систем, и даже в этом случае порядок аппроксимирующей алгебраичес
Аналогии компонентных уравнений
В большинстве технических систем можно выделить три типа простейших элементов:
A. Элемент типа R - элемент диссипации энергии. На этом элементе, как правило, происходит преобразован
Электрическая подсистема
Фазовыми переменными электрической подсистемы являются токи I и напряжения U. Запишем уравнения трех типов простейших элементов:
A. Уравнение сопротивления (закон Ома)
Механическая поступательная подсистема
Фазовые переменные механической поступательной подсистемы - силы F и скорости V - соответственно аналоги токов и напряжений. Запишем уравнения трех типов простейших элементов:
Гидравлическая (пневматическая) подсистема
Фазовые переменные гидравлической подсистемы – массовые расходы Qm и давления Р - соответственно аналоги токов и напряжений. Запишем уравнения трех типов простейших элемент
Тепловая подсистема
Фазовые переменные этой подсистемы - тепловые потоки Ф и температура Т - соответственно аналоги токов и напряжений. Запишем уравнения трех типов простейших элементов:
А. Из с
Электрическая подсистема
Связи между отдельными элементами этой подсистемы устанавливаются на основе законов Кирхгофа.
Уравнение первого закона Кирхгофа устанавливает равенство нулю суммы токов в узлах схемы, т. е
Механическая поступательная подсистема
Аналогом уравнения первого закона Кирхгофа является уравнение принципа Даламбера: сумма сил, действующих на тело, включая инерционные, равна нулю, т. е.
Механическая вращательная подсистема
Аналогом уравнения первого, закона Кирхгофа является уравнение принципа Даламбера для вращательных подсистем, т. е.
Тепловая подсистема
Аналогом уравнения первого закона Кирхгофа является уравнение равновесия в узлах подсистемы, т. е.
Эквивалентные схемы технических объектов
При получении ММ достаточно сложного технического объекта, состоящего из нескольких физических подсистем, нужно:
1) выделить в объекте однородные физические подсистемы, например механическ
Эквивалентные схемы механических поступательных подсистем
При построении эквивалентной схемы сначала в моделируемом объекте выделяют элементы, массу которых необходимо учесть. Такие элементы изображаются двухполюсниками (условное обозначение двухполюсника
Эквивалентные схемы электрических подсистем
Эквивалентные схемы таких подсистем практически совпадают с их принципиальными схемами, заменяются только сложные радиокомпоненты их схемами замещения, а также могут быть учтены «паразитные» элемен
Рекомендации к составлению эквивалентных схем
При составлении эквивалентных схем следует избегать последовательного соединения источника типа I и ветви типа L, а также параллельного соединения источника типа E и ветви типа
Типы связей между подсистемами различной физической природы
Ранее были рассмотрены эквивалентные схемы однородных физических подсистем. Но реальный объект представляет собой совокупность разнородных физических подсистем. Согласно основным этапам получения М
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ
Графы в математическом обеспечении САПР используются при решении задач синтеза, особенно в конструкторском проектировании, при проектировании программного обеспечения, баз данных, при решении задач
Обобщенный метод получения математических моделей систем
Математической моделью технического объекта на макроуровне является система обыкновенных дифференциальных уравнений, в общем случае не разрешенная относительно производных, т. е.
Табличный метод получения математических моделей систем
В табличном методе в вектор базисных координат включаются переменные величины типа U и I для всех ветвей схемы. Выбор такого базиса позволяет в эквивалентной схеме иметь любые зависимые ветв
Узловой метод получения математических моделей систем
Узловой метод является популярным при создании программных комплексов анализа динамических систем. В качестве вектора базисных координат в этом методе используется вектор переменных типа узловых по
Метод переменных состояния
Базис метода переменных, характеризующих состояние системы, или более коротко - метода переменных состояния, составляют переменные типа потока через элементы типа
Символический метод
Здесь большая часть действий по определению коэффициентов аi и bj производится в общем виде, т. е. выполняются операции над символическими обозначениями, в резул
МЕТОДЫ АНАЛИЗА ПОВЫШЕННОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ
Одновариантный анализ служит для оценки выходных параметров объектов при заданных внутренних и внешних параметрах. Он является необходимой составной частью более сложных задач много
Диакоптические методы анализа
Диакоптические методы (методы разбиения, декомпозиции) основаны на разделении сложной системы уравнений высокой размерности на более простые подсистемы с учетом связей между ними. В результа
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов