ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ - раздел Механика, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ Графы В Математическом Обеспечении Сапр Используются При Решении Задач Синтез...
Графы в математическом обеспечении САПР используются при решении задач синтеза, особенно в конструкторском проектировании, при проектировании программного обеспечения, баз данных, при решении задач анализа на макроуровне.
Топологические уравнения подсистем записываются для узлов и контуров эквивалентной схемы, поэтому получение эквивалентной схемы - необходимый этап подготовки технического объекта к моделированию. Существующие методы получения топологических уравнений основаны на применении графов.
На рис. 1, а представлен пример связного графа, а на рис. 1, б - его фундаментальное дерево. Ветви дерева - это ребра б, г, е, ж, и, хорды - ребра а, в, д, к.
Выбор фундаментального дерева графа не однозначен, для одного и того же графа их может быть несколько. Так, на рис. 1, в представлено еще одно фундаментальное дерево графа (рис. 1, а). При этом ребра а, б, в, д, и - ветви дерева. г, е, ж, к - хорды.
Рис. 1. Граф (а) и его фундаментальные деревья (б, в).
Граф несет информацию о связях в объекте, удобную для восприятия человеком, но для обработки на ЭВМ нужна информация числового характера. Представить граф в таком виде можно с помощью матрицы инциденций А, которая кодирует ориентированный граф так: каждому узлу графа (кроме одного, называемого базовым) соответствует одна строка, каждому ребру - один столбец, в столбце записывается +1 на пересечении со строкой узла, из которого, ребро направлено, и -1 на пересечении со строкой узла, к которому оно направлено, остальные элементы этого столбца равны 0. Базовому узлу в матрице инциденций никакая строка не соответствует. В качестве базового может быть выбран произвольный узел.
Матрицы, содержащие нулевые элементы, называются разреженными матрицами. Матрицы инциденций являются сильно разреженными, причем разреженность возрастает с увеличением их размера. В таблице 1 представлена матрица инциденций для графа, показанного на рис. 2 (за базовый принят узел 3).
Таблица 1.
| Узлы
| Ветви
|
| а
| б
| в
| г
| д
| е
| ж
| и
| к
|
|
| +1
|
|
|
|
|
| +1
|
|
|
|
| -1
| -1
| +1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| -1
| +1
| -1
|
|
|
| +1
|
|
|
|
|
|
|
| -1
| -1
| -1
|
|
|
|
|
|
|
| +1
|
|
| +1
| -1
|
Рис. 2. Матрица контуров и сечений графа.
Все темы данного раздела:
ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
ВВЕДЕНИЕ. 2
1 КЛАССИФИКАЦИЯ И МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ ММ.. 3
1.1 Классификация математических моделей. 3
1.2 Методы получения ММ... 6
1.3 Требования к м
Методы получения ММ
Основными методами получения ММ объектов на макроуровне являются:
· Обобщенный метод;
· Табличный метод;
· Узловой метод;
· Метод переменных состояний.
Требования к математическим моделям и численным методам в САПР
К математическим моделям предъявляются требования универсальности, адекватности, точности и экономичности.
Степень универсальности ММ характеризует полноту отображения в модели свой
Методика получения математических моделей элементов
В общем случае процедура получения математических моделей элементов включает в себя следующие операции:
1. Выбор свойств объекта, которые подлежат отражению в модели. Этот выбор основан на
Постановка задачи
Математические модели на микроуровне, называемым распределенными, представлены дифференциальными уравнениями в частных производных вместе с краевыми условиями. Проектирование м
Краевые условия
Уравнения (1.2), (1.4), (1.6), (1.7) имеют множество решений. Для получения единственного решения необходимо задавать краевые условия (сведения об искомых непрерывных функциях на границах ра
Приближенные модели объектов на микроуровне
Точное решение краевых задач удается получить лишь для немногих частных случаев. Поэтому общий способ их решения, в том числе и в САПР, заключается в использовании различных приближенных моделей. В
Метод конечных разностей
В САПР решение дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений с частными производными выполняется численными методами. Эти методы основаны на дискретизации независимых переменных - их пред
Построение сетки в заданной области
В МКР пользуются, как правило, регулярные сетки, шаг которых либо постоянен, либо меняется по несложному закону. Ниже на рис. 1 приведен пример построения сеток в МКР.
Для одномерных облас
Метод конечных элементов
В настоящее время метод конечных элементов (МКЭ) является одним из наиболее популярных методов решения краевых задач в САПР. В математическом отношении метод относится к группе вариационно-разностн
Метод, основанный на вариационной постановке задачи
Метод, основанный на вариационной постановке задачи, требует минимизации некоторого специально подобранного функционала, который связан с физическим смыслом задачи. Подбор функционала являет
Метод Галеркина
Метод Галеркина - другой широко известный метод вычисления вектора узловых значений - представляет собой частный случай более общего метода взвешенных невязок. Основным преимуществ
Метод граничных элементов
При решении краевых задач приближенные модели технических объектов можно строить на основе интегральных уравнений. При этом первый шаг на пути к решению состоит в переходе от дифференциальных уравн
Переход от исходного дифференциального уравнения интегральному
Рассмотрим на простом примере алгоритм перехода. В двухмерной однородной области произвольной формы с коэффициентом проницаемости k требуется найти распределение функции
Дискретизация границы рассматриваемой области
Для приближенного решения (5) производится дискретизация границы рассматриваемой области. Аналогично МКЭ разбиение границы на элементы можно производить различными способами. В простейшем случае гр
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ АНАЛИЗА ОБЪЕКТОВ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Использование ММ объекта в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных можно только для очень простых технических систем, и даже в этом случае порядок аппроксимирующей алгебраичес
Аналогии компонентных уравнений
В большинстве технических систем можно выделить три типа простейших элементов:
A. Элемент типа R - элемент диссипации энергии. На этом элементе, как правило, происходит преобразован
Электрическая подсистема
Фазовыми переменными электрической подсистемы являются токи I и напряжения U. Запишем уравнения трех типов простейших элементов:
A. Уравнение сопротивления (закон Ома)
Механическая поступательная подсистема
Фазовые переменные механической поступательной подсистемы - силы F и скорости V - соответственно аналоги токов и напряжений. Запишем уравнения трех типов простейших элементов:
Механическая вращательная подсистема
Фазовые переменные этой подсистемы - моменты сил М и угловые скорости - соответ
Гидравлическая (пневматическая) подсистема
Фазовые переменные гидравлической подсистемы – массовые расходы Qm и давления Р - соответственно аналоги токов и напряжений. Запишем уравнения трех типов простейших элемент
Тепловая подсистема
Фазовые переменные этой подсистемы - тепловые потоки Ф и температура Т - соответственно аналоги токов и напряжений. Запишем уравнения трех типов простейших элементов:
А. Из с
Электрическая подсистема
Связи между отдельными элементами этой подсистемы устанавливаются на основе законов Кирхгофа.
Уравнение первого закона Кирхгофа устанавливает равенство нулю суммы токов в узлах схемы, т. е
Механическая поступательная подсистема
Аналогом уравнения первого закона Кирхгофа является уравнение принципа Даламбера: сумма сил, действующих на тело, включая инерционные, равна нулю, т. е.
Механическая вращательная подсистема
Аналогом уравнения первого, закона Кирхгофа является уравнение принципа Даламбера для вращательных подсистем, т. е.
Гидравлическая (пневматическая) подсистема
Аналогом уравнения первого закона Кирхгофа является уравнение равновесия в узлах подсистемы, т.е.
Тепловая подсистема
Аналогом уравнения первого закона Кирхгофа является уравнение равновесия в узлах подсистемы, т. е.
Эквивалентные схемы технических объектов
При получении ММ достаточно сложного технического объекта, состоящего из нескольких физических подсистем, нужно:
1) выделить в объекте однородные физические подсистемы, например механическ
Эквивалентные схемы механических поступательных подсистем
При построении эквивалентной схемы сначала в моделируемом объекте выделяют элементы, массу которых необходимо учесть. Такие элементы изображаются двухполюсниками (условное обозначение двухполюсника
Эквивалентные схемы гидравлических (пневматических) подсистем
За базовый узел при составлении эквивалентных схем таких подсистем обычно принимается внешняя среда.
Примечание. Гидравлическая и пневматическая подсистемы аналогичны.
Эквивалентные схемы электрических подсистем
Эквивалентные схемы таких подсистем практически совпадают с их принципиальными схемами, заменяются только сложные радиокомпоненты их схемами замещения, а также могут быть учтены «паразитные» элемен
Рекомендации к составлению эквивалентных схем
При составлении эквивалентных схем следует избегать последовательного соединения источника типа I и ветви типа L, а также параллельного соединения источника типа E и ветви типа
Типы связей между подсистемами различной физической природы
Ранее были рассмотрены эквивалентные схемы однородных физических подсистем. Но реальный объект представляет собой совокупность разнородных физических подсистем. Согласно основным этапам получения М
Метод получения топологических уравнений на основе матрицы контуров и сечений
Метод, основанный на использовании информации, заключенной в М-матрице (в матрице контуров и сечений), - наиболее удобный и общий метод получения топологических уравнений.
Обобщенный метод получения математических моделей систем
Математической моделью технического объекта на макроуровне является система обыкновенных дифференциальных уравнений, в общем случае не разрешенная относительно производных, т. е.
Табличный метод получения математических моделей систем
В табличном методе в вектор базисных координат включаются переменные величины типа U и I для всех ветвей схемы. Выбор такого базиса позволяет в эквивалентной схеме иметь любые зависимые ветв
Узловой метод получения математических моделей систем
Узловой метод является популярным при создании программных комплексов анализа динамических систем. В качестве вектора базисных координат в этом методе используется вектор переменных типа узловых по
Метод переменных состояния
Базис метода переменных, характеризующих состояние системы, или более коротко - метода переменных состояния, составляют переменные типа потока через элементы типа
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Для многих технических объектов, описываемых системой линейных дифференциальных уравнений, необходимо получение амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик (АЧФ и ФЧХ). Часто АЧХ и ФЧХ опред
Численный метод анализа частотных характеристик
Поскольку модель технического объекта предполагается линейной, целесообразно записать ее относительно приращений:
Метод полиномиальных коэффициентов
Так как математическая модель объекта линейна, то , где
Символический метод
Здесь большая часть действий по определению коэффициентов аi и bj производится в общем виде, т. е. выполняются операции над символическими обозначениями, в резул
МЕТОДЫ АНАЛИЗА ПОВЫШЕННОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ
Одновариантный анализ служит для оценки выходных параметров объектов при заданных внутренних и внешних параметрах. Он является необходимой составной частью более сложных задач много
Диакоптические методы анализа
Диакоптические методы (методы разбиения, декомпозиции) основаны на разделении сложной системы уравнений высокой размерности на более простые подсистемы с учетом связей между ними. В результа
Новости и инфо для студентов