Постановка задачи - раздел Механика, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ Математические Модели На Микроуровне, Называемым Распределен...
Математические модели на микроуровне,называемым распределенными, представлены дифференциальными уравнениями в частных производных вместе с краевыми условиями. Проектирование многих технических объектов связано с необходимостью анализа непрерывных физических процессов, математическим описанием которых являются дифференциальные уравнения в частных производных. Примером тому служат современные летательные аппараты, при проектировании и расчете которых широко используется анализ подобных моделей.
Рассмотрим примеры уравнений, составляющих основу моделей объектов на микроуровне. Первая важная задача проектирования летательного аппарата - определение прочности узлов и элементов конструкции при различных видах нагружения. Поэтому исследование напряженного состояния деталей конструкции и связанные с ним расчеты на прочность относятся к наиболее ответственным в самолетостроении.
Напряженное состояние деталей конструкции в зависимости от геометрии исследуемого узла, вида приложенной нагрузки и свойств материала описывается дифференциальными уравнениями различного вида. Любое из этих уравнений может быть получено из общего квазигармонического уравнения
(1.1),
где х, у, z - пространственные координаты; - искомая непрерывная функция; Кх, Ку, Kz - коэффициенты; Q - внешнее воздействие.
В двухмерном случае при Кх = Ку = 1 уравнение (1.1) сводится к уравнению, описывающему напряженное состояние, возникающее в поперечном сечении упругого однородного стержня под воздействием крутящего момента М:
, (1.2)
где Е - модуль сдвига материала стержня; - угол закручивания на единицу длины, а функция - функция, связанная с напряжениями сдвига и уравнениями
; (1.3)
В (1.2) в явном виде не входит крутящий момент, связанный с искомой функцией напряжения уравнением , где S - площадь рассматриваемого сечения.
Вторая важная задача проектирования летательного аппарата - изучение его аэродинамических свойств. Решение этой задачи связано с исследованием процессов обтекания газом поверхностей произвольной формы. Наиболее общими уравнениями, описывающими этот процесс, являются уравнения Навье-Стокса, которые в декартовой системе координат имеют вид:
;
; (1.4)
где и, , - проекции вектора скорости; Fх, Fy, Fz - проекции вектора силы на оси координат; - плотность; р - давление; (- коэффициент вязкости).
Примечание. Система уравнений (1.4) незамкнутая, для решения ее следует доопределить с помощью уравнения неразрывности, которое в декартовой системе координат имеет вид:
, (1.5)
,
где t - время.
Третья задача проектирования летательных аппаратов - расчет тепловых режимов работы деталей и узлов конструкции. Одним из основных аспектов задачи является определение температурных полей, имеющих место в конструкциях.
Примечание. Знание температурных полей необходимо для вычисления количества теплоты, подводимой к телу или отводимой от него. Кроме того, температурные поля влияют на распределение напряжений в конструкциях. Это обстоятельство особенно важно учитывать при проектировании вращающихся элементов летательных аппаратов.
Температурное поле в сплошной среде описывается уравнением теплопроводности. Последнее может быть получено из уравнения (1.1), если под функцией понимать температуру Т, а под коэффициентом К - коэффициент теплопроводности . В двухмерном случае при условии, что коэффициенты теплопроводности и по соответствующим направлениям не зависят от координат, стационарное уравнение теплопроводности имеет вид
, (1.6)
где Q - источник теплоты внутри тела, который считается положительным, если теплота подводится к телу.
Сформулированные выше задачи - типичные для многих областей техники. Так, задачу исследования механических напряжений, возникающих в конструкциях, необходимо решать при проектировании мостов, арок, опор электропередачи и т. д. Рост быстроходности и удельной мощности тепловых двигателей вызывает необходимость более тщательного, чем ранее, исследования проблем механической прочности и тепловых режимов работы их деталей. Аналогичные проблемы возникают в автомобиле- и турбиностроении. Проектирование дамб, плотин, дренажных и оросительных каналов невозможно без тщательного анализа течения грунтовых вод. Последняя задача является частным случаем сформулированной выше задачи о течении жидкостей и газов. В градостроительстве при проектировании системы водоснабжения городов необходим анализ течения грунтовых вод.
Анализ течения жидкого или газообразного теплоносителя на основе уравнений Навье-Стокса проводится при проектировании ядерных реакторов. Кроме того, особо важная роль при проектировании ядерных установок отводится расчету тепловыделяющей системы, математической моделью (ММ) которой является нестационарное уравнение теплопроводности. В этом случае в уравнении (1.6) дополнительно появляется член, описывающий изменение искомого температурного поля во времени. При анализе тепловых процессов в тепловыделяющих элементах (ТВЭЛах), например в высокотемпературных газоохлаждаемых реакторах, уравнение теплопроводности удобнее записывать в сферических координатах в виде
(1.7)
где Ср - удельная теплоемкость материала ТВЭЛов; R - удельная ядерная мощность.
На сайте allrefs.net читайте: "МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ"
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Постановка задачи
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
ВВЕДЕНИЕ. 2
1 КЛАССИФИКАЦИЯ И МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ ММ.. 3
1.1 Классификация математических моделей. 3
1.2 Методы получения ММ... 6
1.3 Требования к м
Методы получения ММ
Основными методами получения ММ объектов на макроуровне являются:
· Обобщенный метод;
· Табличный метод;
· Узловой метод;
· Метод переменных состояний.
Методика получения математических моделей элементов
В общем случае процедура получения математических моделей элементов включает в себя следующие операции:
1. Выбор свойств объекта, которые подлежат отражению в модели. Этот выбор основан на
Краевые условия
Уравнения (1.2), (1.4), (1.6), (1.7) имеют множество решений. Для получения единственного решения необходимо задавать краевые условия (сведения об искомых непрерывных функциях на границах ра
Приближенные модели объектов на микроуровне
Точное решение краевых задач удается получить лишь для немногих частных случаев. Поэтому общий способ их решения, в том числе и в САПР, заключается в использовании различных приближенных моделей. В
Метод конечных разностей
В САПР решение дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений с частными производными выполняется численными методами. Эти методы основаны на дискретизации независимых переменных - их пред
Построение сетки в заданной области
В МКР пользуются, как правило, регулярные сетки, шаг которых либо постоянен, либо меняется по несложному закону. Ниже на рис. 1 приведен пример построения сеток в МКР.
Для одномерных облас
Метод конечных элементов
В настоящее время метод конечных элементов (МКЭ) является одним из наиболее популярных методов решения краевых задач в САПР. В математическом отношении метод относится к группе вариационно-разностн
Метод, основанный на вариационной постановке задачи
Метод, основанный на вариационной постановке задачи, требует минимизации некоторого специально подобранного функционала, который связан с физическим смыслом задачи. Подбор функционала являет
Метод Галеркина
Метод Галеркина - другой широко известный метод вычисления вектора узловых значений - представляет собой частный случай более общего метода взвешенных невязок. Основным преимуществ
Метод граничных элементов
При решении краевых задач приближенные модели технических объектов можно строить на основе интегральных уравнений. При этом первый шаг на пути к решению состоит в переходе от дифференциальных уравн
Дискретизация границы рассматриваемой области
Для приближенного решения (5) производится дискретизация границы рассматриваемой области. Аналогично МКЭ разбиение границы на элементы можно производить различными способами. В простейшем случае гр
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ АНАЛИЗА ОБЪЕКТОВ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Использование ММ объекта в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных можно только для очень простых технических систем, и даже в этом случае порядок аппроксимирующей алгебраичес
Аналогии компонентных уравнений
В большинстве технических систем можно выделить три типа простейших элементов:
A. Элемент типа R - элемент диссипации энергии. На этом элементе, как правило, происходит преобразован
Электрическая подсистема
Фазовыми переменными электрической подсистемы являются токи I и напряжения U. Запишем уравнения трех типов простейших элементов:
A. Уравнение сопротивления (закон Ома)
Механическая поступательная подсистема
Фазовые переменные механической поступательной подсистемы - силы F и скорости V - соответственно аналоги токов и напряжений. Запишем уравнения трех типов простейших элементов:
Гидравлическая (пневматическая) подсистема
Фазовые переменные гидравлической подсистемы – массовые расходы Qm и давления Р - соответственно аналоги токов и напряжений. Запишем уравнения трех типов простейших элемент
Тепловая подсистема
Фазовые переменные этой подсистемы - тепловые потоки Ф и температура Т - соответственно аналоги токов и напряжений. Запишем уравнения трех типов простейших элементов:
А. Из с
Электрическая подсистема
Связи между отдельными элементами этой подсистемы устанавливаются на основе законов Кирхгофа.
Уравнение первого закона Кирхгофа устанавливает равенство нулю суммы токов в узлах схемы, т. е
Механическая поступательная подсистема
Аналогом уравнения первого закона Кирхгофа является уравнение принципа Даламбера: сумма сил, действующих на тело, включая инерционные, равна нулю, т. е.
Механическая вращательная подсистема
Аналогом уравнения первого, закона Кирхгофа является уравнение принципа Даламбера для вращательных подсистем, т. е.
Тепловая подсистема
Аналогом уравнения первого закона Кирхгофа является уравнение равновесия в узлах подсистемы, т. е.
Эквивалентные схемы технических объектов
При получении ММ достаточно сложного технического объекта, состоящего из нескольких физических подсистем, нужно:
1) выделить в объекте однородные физические подсистемы, например механическ
Эквивалентные схемы механических поступательных подсистем
При построении эквивалентной схемы сначала в моделируемом объекте выделяют элементы, массу которых необходимо учесть. Такие элементы изображаются двухполюсниками (условное обозначение двухполюсника
Эквивалентные схемы электрических подсистем
Эквивалентные схемы таких подсистем практически совпадают с их принципиальными схемами, заменяются только сложные радиокомпоненты их схемами замещения, а также могут быть учтены «паразитные» элемен
Рекомендации к составлению эквивалентных схем
При составлении эквивалентных схем следует избегать последовательного соединения источника типа I и ветви типа L, а также параллельного соединения источника типа E и ветви типа
Типы связей между подсистемами различной физической природы
Ранее были рассмотрены эквивалентные схемы однородных физических подсистем. Но реальный объект представляет собой совокупность разнородных физических подсистем. Согласно основным этапам получения М
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ
Графы в математическом обеспечении САПР используются при решении задач синтеза, особенно в конструкторском проектировании, при проектировании программного обеспечения, баз данных, при решении задач
Обобщенный метод получения математических моделей систем
Математической моделью технического объекта на макроуровне является система обыкновенных дифференциальных уравнений, в общем случае не разрешенная относительно производных, т. е.
Табличный метод получения математических моделей систем
В табличном методе в вектор базисных координат включаются переменные величины типа U и I для всех ветвей схемы. Выбор такого базиса позволяет в эквивалентной схеме иметь любые зависимые ветв
Узловой метод получения математических моделей систем
Узловой метод является популярным при создании программных комплексов анализа динамических систем. В качестве вектора базисных координат в этом методе используется вектор переменных типа узловых по
Метод переменных состояния
Базис метода переменных, характеризующих состояние системы, или более коротко - метода переменных состояния, составляют переменные типа потока через элементы типа
Символический метод
Здесь большая часть действий по определению коэффициентов аi и bj производится в общем виде, т. е. выполняются операции над символическими обозначениями, в резул
МЕТОДЫ АНАЛИЗА ПОВЫШЕННОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ
Одновариантный анализ служит для оценки выходных параметров объектов при заданных внутренних и внешних параметрах. Он является необходимой составной частью более сложных задач много
Диакоптические методы анализа
Диакоптические методы (методы разбиения, декомпозиции) основаны на разделении сложной системы уравнений высокой размерности на более простые подсистемы с учетом связей между ними. В результа
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
(1.1),
- искомая непрерывная функция; Кх, Ку, Kz - коэффициенты; Q - внешнее воздействие.
, (1.2)
- угол закручивания на единицу длины, а функция 
и 
уравнениями
; 
(1.3)
, где S - площадь рассматриваемого сечения.
;
; (1.4)
, 
- проекции вектора скорости; Fх, Fy, Fz - проекции вектора силы на оси координат; 
- плотность; р - давление; 
(
- коэффициент вязкости).
, (1.5)
,
понимать температуру Т, а под коэффициентом К - коэффициент теплопроводности 
. В двухмерном случае при условии, что коэффициенты теплопроводности 
и 
по соответствующим направлениям не зависят от координат, стационарное уравнение теплопроводности имеет вид
, (1.6)
(1.7)
Новости и инфо для студентов