НОРМИРОВКА В НЕПРЕРЫВНОМ СПЕКТРЕ

 

Итак, классическому финитному движению отвечает в квантовой механике состояния с нормируемыми волновыми функциями, которые можно нормировать на 1, а энергетический спектр является дискретным. Классическому инфинитному движению отвечают состояния с обобщенными волновыми функциями, которые нельзя нормировать, а энергетический спектр является непрерывным.

Возникает проблема нормировки волновых функций непрерывного спектра. Раньше мы их нормировали, и обычно так и делают, на дельта- функцию. Однако этот прием достаточно формален. Реально же на самом деле спектр всегда является дискретным, так как размеры области локализации частицы ограничены хотя бы стенками лаборатории. Правда, часто случается так, что L>>l, где L - размеры лаборатории, а l - размеры физической системы. Влияние стенок оказывается пренебрежимо малым, и энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр невозможно отличить от непрерывного. Ведь в предыдущей задаче величина L² входила в знаменатель E_n, и чем она больше, тем гуще спектр.

Но реальная физическая ситуация делает оправданной так называемую «нормировку в ящике», когда частица считается находящейся в ограниченной области, хотя и больших размеров по сравнению с ее собственными размерами. Итак, все пространство разбивается на ящики и частица сажается в один из них. Так как ящик велик, влияние стенок мало и на них можно поставить любые дополнительные условия - условия Бора - Кармана - условия периодичности: требуется, чтобы волновая частица повторялась в каждом ящике. В одномерном случае это записывается как

 

y(x+L) = y(x).

 

От такой волновой функции и требуется, чтобы

 

=1

 

Рассмотрим в качестве примера вновь свободную частицу с уравнением Шредингера

 

-i²/2m ×y^RR = Ey

 

с волновыми функциями

 

y(x) = Ae^{i/i px} ; E = p²/2m, ,

 

(импульс строго определен). Накладываем условие периодичности:

 

Ae^{i/i p(x+L)} = Ae^{i/i px},

откуда

e^{i/i pL} = 1 Þ pL/I = 2pn, nÎZ.

 

Получаем дискретный ряд значений для импульса и для энергии:

 

p_n = 2pi/L×n, E_n = 2p²i²n²/mL² .

 

При больших L спектр оказывается практически непрерывным, а нормировочная константа

A =

Это получается так же, как в задаче о частице в яме, где нормировочная константа как раз и была равной

A =

(двойки теперь нет потому, что немножко другие граничные условия - не нулевые, а периодические).