Атом водорода и водородоподобные системы
Лекция 9-10
Атом водорода и водородоподобные системы
Свойства оператора момента импульса и его проекций. Собственные значения и собственные функции оператора момента импульса и его проекций
Оператор момента импульса имеет вид: 
. Оператор проекций момента импульса:
(7.1)
Эти операторы не коммутируют друг с другом, поэтому не существует состояний с тремя определёнными проекциями момента импульса (за исключением 
).
Оператор квадрата момента импульса 
коммутирует с операторами проекций 
, 
, 
.Это означает, что возможны состояния с определённым модулем момента импульса (с определённым значением М2) и какой-нибудь из его проекций. При изучении движения частиц в центральном поле целесообразно использовать сферические координаты r, θ, φ, причём
x = r ·sin θ ·cos φ; y = r ·sin θ ·sin φ; z = r ·cos θ;
Тогда
Поскольку ось ОZ выбрана в качестве полярной оси, равноправие трёх декартовых осей координат ОX, OY, OZ при переходе к сферическим координатам теряется: теперь некоторое направление в пространстве выделено, и удобно рассматривать состояние с определёнными значениями 
и 
. Коммутирующие операторы и имеют общую систему собственных функций. Для того, чтобы найти эти функции, нужно решить уравнение:
=
(7.2)
В сферических координатах: 
, (7.3)
где 
поэтому уравнение (7.2) принимает вид:
Оно имеет однозначные, непрерывные и всюду ограниченные решения при условии: 
, (где 
), которые определяются собственными значениями оператора квадрата момента импульса. Таким образом, значения квадрата модуля момента импульса частицы квантуются. Квантовое число 
определяет модуль момента импульса. Состояния с небольшими значениями часто обозначаются буквами:
| |||||||
| обозн. | s | p | d | f | g | h | i |
Состояния с заданным моментом импульса вырождены по квантовому числу m. Физический смысл этого квантового числа раскрывается при решении задачи о собственных функциях и собственных значениях оператора проекции момента импульса 
. Уравнение 
Ψ = 
Ψ или 
= Ψ имеет частные решения вида:
Ψ = 
. Поскольку полный обход вокруг оси ОZ при изменении угла φ на 2π приводит нас в исходную точку пространства ( r и θ постоянны ), то из условия однозначности решения следует равенство: 
. Оно удовлетворяется, если положить 
. После нормировки и подстановки 
собственные функции оператора принимают вид: 
.
Часто используют название: - азимутальное или орбитальное квантовое число, причём 
т.е. принимает 
значение.
В целях наглядности результаты квантования момента импульса и его проекции можно представить графически. Из точки 
построим полуокружность, радиус которой равен модулю момента импульса. На рис. 7.1. 
=2 . Радиус окружности равен 
. По аналогии с классикой принято сопоставлять состоянием с одним и разными m различные определённые ориентации вектора момента импульса, хотя две другие проекции и не имеют определённого значения. Очень важное различие квантового и классического моментов импульса заключаются в том, что отношение 
(косинус угла наклона) в квантовом случае принимает дискретный ряд значений. Этот факт получил название пространственного квантования.
Рис.7.1.
Движение частицы в центрально -симметричном
Поле
Центрально-симметричным называется силовое поле с потенциальной энергией, зависящей только от расстояния до некоторого центра. Центр удобно взять в качестве начала координат, тогда U = U(r).
Сила, действующая на частицу в таком поле, направлена по полярному радиусу, проведенному в данную точку. Поэтому при движении классической частицы сохраняется полная механическая энергия и момент импульса. Следует ожидать этого и в квантовой механике.
Уравнение Шредингера запишем в сферических координатах:
Где
(7.4)
.
Если сравнить формулы (7.1), (7.2), (7.3) то видно, что операторы 
, 
и 
коммутируют друг с другом. Таким образом, существуют стационарные состояния, в которых одновременно задана энергия, момент импульса и его проекция на некоторую ось, принятую за ось ОZ.
Уравнения (7.4) допускает разделение переменных. Волновую функцию представим в виде произведения радиального R(r) и углового 
множителей:
= R(r) ,
после подстановки получаем уравнение:
.
Умножим его на 
и разделим на RJ:
.
Правая и левая части этого равенства есть функции разных независимых переменных, поэтому они должны быть равны одной и той же постоянной величине. Обозначим её через λ, тогда исходное уравнение распадается на два:
, 
Первое из них есть уравнение для собственных функций и собственных значений оператора квадрата момента импульса. Его решение нам известно, причём 
, тогда второе уравнение принимает вид:
.
Это уравнение называется радиальным. Сделаем подстановку 
, тогда 
. (7.5)
Уравнение (7.5) по форме совпадает с одномерным уравнением Шредингера для движения частицы в поле эффективным потенциалом: Uэф 
. Дальнейшее решение требует знания вида потенциала U(r).
Таким образом, при движении частицы в центрально-симметричном поле:
Возможны стационарные состояния с определенными значениями энергии, момента импульса и его проекций на ось OZ.
2) Указанные состояния различаются квантовыми числами и m, определяющими момент импульса и его проекцию.
Энергия стационарного состояния зависит от конкретного вида центрального поля и должна быть определена вместе с радиальным множителем R(r) в процессе решения уравнения (4).
Квантово -механическая модель атома водорода
, где . Поле является центрально-симметричным, поэтому воспользуемся результатами… ,Для нас наиболее важна область потенциальной ямы. Здесь при отрицательных энергиях движение частицы происходит в ограниченной области пространства и возможны связанные состояния с дискретными значениями энергии.
Запишем радиальное уравнение с кулоновским потенциалом:
.
Для упрощения перейдём к безразмерной величине 
, 
- постоянная, называемая боровским радиусом (a = 0,52∙
см). Эта величина определяет порядок расстояний в атоме. Обозначим:
(7.6)
Постоянная 
имеет размерность энергии (=13,6 эВ) и даёт порядок энергии электрона в атоме. Тогда радиальное уравнение принимает вид:
. (7.7)