Атом водорода и водородоподобные системы

Лекция 9-10

Атом водорода и водородоподобные системы

Свойства оператора момента импульса и его проекций. Собственные значения и собственные функции оператора момента импульса и его проекций

Оператор момента импульса имеет вид: . Оператор проекций момента импульса:

(7.1)

Эти операторы не коммутируют друг с другом, поэтому не существует состояний с тремя определёнными проекциями момента импульса (за исключением ).

Оператор квадрата момента импульса коммутирует с операторами проекций , , .Это означает, что возможны состояния с определённым модулем момента импульса (с определённым значением М²) и какой-нибудь из его проекций. При изучении движения частиц в центральном поле целесообразно использовать сферические координаты r, θ, φ, причём

x = r ·sin θ ·cos φ; y = r ·sin θ ·sin φ; z = r ·cos θ;

Тогда

Поскольку ось ОZ выбрана в качестве полярной оси, равноправие трёх декартовых осей координат ОX, OY, OZ при переходе к сферическим координатам теряется: теперь некоторое направление в пространстве выделено, и удобно рассматривать состояние с определёнными значениями и . Коммутирующие операторы и имеют общую систему собственных функций. Для того, чтобы найти эти функции, нужно решить уравнение:

= (7.2)

В сферических координатах: , (7.3)

где поэтому уравнение (7.2) принимает вид:

Оно имеет однозначные, непрерывные и всюду ограниченные решения при условии: , (где ), которые определяются собственными значениями оператора квадрата момента импульса. Таким образом, значения квадрата модуля момента импульса частицы квантуются. Квантовое число определяет модуль момента импульса. Состояния с небольшими значениями часто обозначаются буквами:

обозн.	s	p	d	f	g	h	i

Состояния с заданным моментом импульса вырождены по квантовому числу m. Физический смысл этого квантового числа раскрывается при решении задачи о собственных функциях и собственных значениях оператора проекции момента импульса . Уравнение Ψ = Ψ или = Ψ имеет частные решения вида:

Ψ = . Поскольку полный обход вокруг оси ОZ при изменении угла φ на 2π приводит нас в исходную точку пространства ( r и θ постоянны ), то из условия однозначности решения следует равенство: . Оно удовлетворяется, если положить . После нормировки и подстановки собственные функции оператора принимают вид: .

Часто используют название: - азимутальное или орбитальное квантовое число, причём т.е. принимает значение.

В целях наглядности результаты квантования момента импульса и его проекции можно представить графически. Из точки построим полуокружность, радиус которой равен модулю момента импульса. На рис. 7.1. =2 . Радиус окружности равен . По аналогии с классикой принято сопоставлять состоянием с одним и разными m различные определённые ориентации вектора момента импульса, хотя две другие проекции и не имеют определённого значения. Очень важное различие квантового и классического моментов импульса заключаются в том, что отношение (косинус угла наклона) в квантовом случае принимает дискретный ряд значений. Этот факт получил название пространственного квантования.

Рис.7.1.

Движение частицы в центрально -симметричном

Поле

Центрально-симметричным называется силовое поле с потенциальной энергией, зависящей только от расстояния до некоторого центра. Центр удобно взять в качестве начала координат, тогда U = U(r).

Сила, действующая на частицу в таком поле, направлена по полярному радиусу, проведенному в данную точку. Поэтому при движении классической частицы сохраняется полная механическая энергия и момент импульса. Следует ожидать этого и в квантовой механике.

Уравнение Шредингера запишем в сферических координатах:

Где

(7.4)

.

Если сравнить формулы (7.1), (7.2), (7.3) то видно, что операторы , и коммутируют друг с другом. Таким образом, существуют стационарные состояния, в которых одновременно задана энергия, момент импульса и его проекция на некоторую ось, принятую за ось ОZ.

Уравнения (7.4) допускает разделение переменных. Волновую функцию представим в виде произведения радиального R(r) и углового множителей:

= R(r) ,

после подстановки получаем уравнение:

.

Умножим его на и разделим на RJ:

.

Правая и левая части этого равенства есть функции разных независимых переменных, поэтому они должны быть равны одной и той же постоянной величине. Обозначим её через λ, тогда исходное уравнение распадается на два:

,

Первое из них есть уравнение для собственных функций и собственных значений оператора квадрата момента импульса. Его решение нам известно, причём , тогда второе уравнение принимает вид:

.

Это уравнение называется радиальным. Сделаем подстановку , тогда . (7.5)

Уравнение (7.5) по форме совпадает с одномерным уравнением Шредингера для движения частицы в поле эффективным потенциалом: Uэф . Дальнейшее решение требует знания вида потенциала U(r).

Таким образом, при движении частицы в центрально-симметричном поле:

Возможны стационарные состояния с определенными значениями энергии, момента импульса и его проекций на ось OZ.

2) Указанные состояния различаются квантовыми числами и m, определяющими момент импульса и его проекцию.

Энергия стационарного состояния зависит от конкретного вида центрального поля и должна быть определена вместе с радиальным множителем R(r) в процессе решения уравнения (4).

Квантово -механическая модель атома водорода

, где . Поле является центрально-симметричным, поэтому воспользуемся результатами… ,

Для нас наиболее важна область потенциальной ямы. Здесь при отрицательных энергиях движение частицы происходит в ограниченной области пространства и возможны связанные состояния с дискретными значениями энергии.

Запишем радиальное уравнение с кулоновским потенциалом:

.

Для упрощения перейдём к безразмерной величине , - постоянная, называемая боровским радиусом (a = 0,52∙см). Эта величина определяет порядок расстояний в атоме. Обозначим:

(7.6)

Постоянная имеет размерность энергии (=13,6 эВ) и даёт порядок энергии электрона в атоме. Тогда радиальное уравнение принимает вид:

. (7.7)

Это уравнение необходимо решить для нахождения неполной радиальной функции R(r).

(7.8) где = 1,2,3,… - радиальное квантовое число. Обычно вводят главное квантовое число: (7.9)

Орбитальный магнитный момент электрона

Из этих формул видно, что существует своеобразный квант магнитного момента − наименьшее отличное от нуля значение проекции момента на…

Спин электрона

Иногда электрон представляют для наглядности в виде шарика-волчка, вращающегося вокруг оси, проходящей через центр масс. С принципиальной стороны… Для описания спина используется оператор спина и операторы , , его проекций.… (7.10)