Понятие доверительного интервала и доверительной вероятности

Понятие доверительного интервала и доверительной вероятности. Как установлено ранее, истинное значение измеряемой величины Х отличается от среднеарифметического a на некоторую величину x. На рис. 2 представлено расположение истинного значения Х и а, полученного из некоторых измерений а1, а2, а3. Ясно, что случайные величины а1, а2, а3 обусловят случайный характер абсолютной погрешности x результата серии измерений, которая будет распределена по закону Гаусса. Тогда вместо выражения Х а х можно записать а х Х а. Интервал а х а х, в который по определению попадает истинное значение X называют доверительным интервалом.

Надежностью уровнем значимости результата серии измерений называется вероятность того, что истинное значение X измеряемой величины попадет в доверительный интервал.

Вероятность выражается в долях единицы или процентах.

Графически надежность отражается площадью под кривой нормального распределения в пределах доверительного интервала, отнесенной к общей площади. Выбор надежности определяется характером производимых измерений. Например, к деталям самолета предъявляются более жесткие требования, чем к лодочному мотору, а к последнему значительно больше, чем к ручной тачке.

При обычных измерениях ограничиваются доверительной вероятностью 0,90 или 0,95. Для любой величины доверительного интервала выраженного в долях по формуле Гаусса может быть просчитана соответствующая доверительная вероятность. Эти вычисления проделаны и сведены в таблицу, имеющуюся практически во всей литературе по теории вероятности. На рис. 3 представлены значения надежности при величине доверительного интервала , 2, 3. Эти значения доверительной вероятности рекомендуется запомнить.

По рис. 3 видно, что величина абсолютной погрешности x может быть представлена в виде Ка, где К некоторый численный коэффициент, зависящий от надежности. Однако это справедливо лишь для большого бесконечного числа n. При малых n этим коэффициентом пользоваться нельзя, т.к. величина а неизвестна. Для того, чтобы получить оценки границ доверительного интервала при малом n вводится новый коэффициент. Этот коэффициент предложен английским математиком и химиком В.С. Госсетом, публиковавшим свои работы под псевдонимом Стьюдент. И коэффициент назвали коэффициентом Стьюдента.

Коэффициент Стьюдента отражает распределение случайной величины t при различном n. При n практически при n 20 распределение Стьюдента переходит в нормальное распределение. Значения коэффициента Стьюдента также приводятся практически во всей литературе по теории вероятности.

Зная величину можно определить величину абсолютной погрешности х tSa. Следует отметить, что величина абсолютной погрешности еще не определяет точность измерений. Точность измерений характеризует относительная погрешность, равная отношению абсолютной погрешности x результата измерений к результату измерений а х а 1.8.