Бифуркация — изменение числа и устойчивости решений уравнения. "Исторический подход" теории бифуркаций

Одним из основных инструментов современной нелинейной динамики является теория бифуркаций.
Чтобы придать конкретный смысл понятию "бифуркация", надо понять, чем "одно" отличается от "другого" (того, что возникло после). Для простых моделей эти отличия удается выделить, их анализ для многих сложных систем --- нерешенная проблема [52]. В чем-то обсуждение этих проблем "нелинейщиками" напоминает дискуссии историков об укладах, формациях, классах, "европейском" и "азиатском" пути развития. Наверное, оно похоже на поединок Геракла с Антеем, в котором последний утратил силу и мощь, оторвавшись от надежной почвы.
Характерный пример, демонстрирующий пользу "вымышленных параметров", перехода от одного класса объектов к более широкому классу систем, связан с анализом сценариев перехода от порядка к хаосу. Одним из наиболее интересных и сложных сценариев, обнаруженных к настоящему времени, является разрушение инвариантных торов. Принципиальной моделью в этой теории является отображение

(1)

Компьютерное исследование этой модели позволило обнаружить много странных свойств этого объекта. Эти свойства удалось понять и объяснить, только рассмотрев более широкое семейство

(2)

и введя "вымышленный" параметр b. (Семейство отображений (2) переходит в семейство (1) при b=0.)

Кинетика существенно неравновесных состояний

Исходным пунктом для данной области исследований явилась классическая кинетика процессов в газах, начатая работами Дж. Максвелла и Л. Больцмана. Затем произошло расширение области исследования на слабонеравновесные системы в различных средах и условиях. С 1950 года началось широкое изучение систем, находящихся далеко от состояния равновесия из-за действия сильных полей и жестких излучений различной природы. На сцену вышел качественно новый фактор — квантованность энергетических состояний молекул. Ранее, по существу, рассматривалось только поступательное движение бесструктурных частиц. При сильном отклонении от равновесного состояния возбуждение охватывает различные степени свободы молекул — вращательные, колебательные, электронные. Возникает необходимость детального учета квантовой структуры вещества. В этих условиях частицы уже нельзя считать бесструктурными, а нужно рассматривать их эволюцию в фазовом пространстве многих степеней свободы.
Свойства атомов и молекул в различных энергетических состояниях различны. За счет неравновесных процессов происходит быстрое перераспределение заселенностей по большому числу термов и неизвестно какой из них окажется в данной конкретной системе наиболее реакционноспособным. Поэтому реакция существенно неравновесной системы на внешнее воздействие может быть неожиданной. Примером может служить диссоциация многоатомных молекул (ангармонических осцилляторов) при охлаждении газа в условиях накачки энергии. Этот эффект использовался для получения свободных атомов при низких температурах, что сыграло существенную роль в разработке химических лазеров. Другим примером нетривиального поведения существенно неравновесной системы является кратковременное охлаждение углекислого газа при резонансном поглощении излучения молекулой CО2.
В данном случае принципиально то, что при рассмотрении открытых систем, внешние параметры играют роль регуляторов, с помощью которых можно управлять процессами. Очень существенным моментом является то, что энергетические затраты на управление с помощью этих регуляторов намного меньше, чем требуется для достижения того же эффекта в равновесных условиях. Причем эффективность воздействия зависит от степени неравновесности системы.
В ряде случаев элементы системы начинают действовать в неравновесных условиях согласованно, обнаруживая свойства, не присущие отдельной частице. Эти общие свойства получили название когерентных или кооперативных свойств. При приближении системы к состоянию равновесия сначала разрушаются когерентные связи, а затем уже связи, определяемые энергетическими заселенностями. Когерентность определяется возникновением корреляций (взаимосвязей и взаимозависимостей) между частицами. Математически это выражается необходимостью рассмотрения функции распределения не одной частицы, а нескольких взаимодействующих. Н.Н. Боголюбов разработал единый подход рассмотрения всей совокупности функций распределения — цепочек уравнений для последовательных функций увеличивающегося числа взаимодействующих частиц. Этот метод назван цепочками ББГКИ, по имени ученых, внесших основной вклад в их разработку: Н.Н. Боголюбов, М. Борн, Х. Грин, И. Кирквуд, И. Ивон. Так функция n переменных учитывает корреляции n частиц. Если масштаб корреляции уменьшается и взаимодействуют только (n-1) частиц, то переходят к функции. При сглаживании неравновесности (переходе к состоянию равновесия) корреляции разрушаются, сокращается набор функций, необходимых для описания поведения системы, а сами функции зависят от все меньшего числа частиц. В пределе остаются лишь одночастичные функции распределения, уравнения которых составляют основу обычной кинетики.
Метод цепочек ББГКИ имел исключительно большое значение в неравновесной статистической физике. Это был, по существу, новый подход к проблеме необратимости. В замкнутой системе уравнения динамики (классической или квантовой) обратимы, т. е. замена t на -t их не меняет. При обрыве цепочки, когда нарушается корреляция высших порядков, возникает необратимость. В этом случае четко видна причина необратимости. Разрушение корреляции может быть вызвано внешним воздействием. Но чем больше и упорядоченной система, тем выше масштаб корреляций. Это означает, что они действуют между большим числом частиц, на больших расстояниях и в течение большого промежутка времени. Следовательно, нужно меньшее воздействие для нарушения такой сложной корреляции. А так как абсолютно изолированных систем нет, то необратимость нашего мира заложена в природе вещей в силу всеобщей связи.

Неравновесная термодинамика открытых систем

Открытые системы. Неравновесная термодинамика