Комплексное изображение синусоидального тока.

Комплексное представление синусоидальных токов и напряжений позволяет совместить простоту и наглядность векторного представления с точностью представления действительными функциями времени. Для перехода от графического к комплексному представлению заменим оси декартовой системы координат (рис.2.2) следующим образом:

-ось Х на ось действующих чисел R_e;

-ось Y на ось мнимых чисел J_m (рис.2.4).

При этом длина вектора тока (напряжения) по-прежнему определяется амплитудным значением, но обозначается как комплексная величина, т.е. I_m(U_m).

Угол наклона вектора к оси реальных чисел R_e в момент времени t=0 остается прежним, т.е. j.

Обозначим проекцию вектора I_m на осьреальных чисел i’ = I_m×cosj, а проекцию I_m на ось мнимых чисел = I_m× sin j. Тогда очевидно, что

, (2.5)

где j - мнимая единица, причем -

Выражение (2.5) определяет комплексную алгебраическую форму представления синусоидального тока. Она удобна для выполнения действий сложения и вычитания токов (напряжений).

Действительно, для сложения двух комплексных чисел достаточно отдельно сложить действительные и мнимые числа.

Подставим в (2.5) вместо и их значения. Тогда получим

İ, (2.6)

где - модуль комплексного представления тока, численно равный амплитудному значению.

Выражение (2.6) определяет комплексную тригонометрическую форму представления синусоидального тока. Из рис. 2.4 очевидно, что

, а . (2.7)

Видим, что выражения (2.5) и (2.6) характеризуют параметры синусоидального тока, не зависящие от времени - действительную амплитуду и начальную фазу j.

Введем зависимость от времени. Тогда

 

İ, (2.8)

где

Теперь очевидно, что реальная часть (2.8) характеризует, реально существующее колебание, описываемое действительной косинусной функцией, мнимая часть - это же колебание в синусной форме.

С помощью формулы Эйлера от (2.6) переходят к показательной форме комплексного представления тока

İ, (2.9)

а с учетом зависимости от времен

İ_mİ_m (2.10)

Комплексная показательная форма удобна для выполнения действий умножения, деления, возведения в степень или извлечения корня. Действительно, для умножения двух комплексных чисел в показательной форме (2.9) достаточно перемножить их модули, а аргументы (показатели степени) сложить.

Представим токи и напряжения на пассивных элементах, обладающих активным сопротивлением, емкостью и индуктивностью в комплексной форме. Пусть имеем

İİ;

Для элемента с активным сопротивлением справедливо равенство

или

(2.11)

Но равенство (2.11) возможно только в том случае, когда . Таким образом, мы пришли к важному выводу о том, что на элементе с активным сопротивлением ток и напряжение совпадают по фазе, т.е. максимумы тока и напряжения имеют место в одим и то же момент времени, Векторы тока и напряжения будут совпадать (рис. 2.5).

 

 

Для элемента обладающего емкостью известно выражение

Применяя к нему комплексную форму представления тока и напряжения получим

.

Учитывая, что приходим к выражению

или

Таким образом видим, что напряжение на емкости отстает от тока на 90^о (см. рис.2,6)

Для элемента, обладающего индуктивностью воспользуемся выражением (1.11). Тогда

или

(2.13)

Видим, что напряжение на индуктивности опережает ток на 90^о (см.рис. 2.7).

В заключение лекции отметим что выражения (2.11), (2.12) и (2.13) не имеют временных зависимостей. Это упрощает расчеты электрических цепей, сводя их к алгебраическим операциям с комплексными числами. Именно поэтому комплексное представление широко используется при анализе электрических цепей переменного тока.