Скачок напряжения на входе RC-цепи

Рассмотрим простейшую электрическую цепь, состоящую из емкости С и активного сопротивления R , ко входу которой подключается скачок напряжения величиной Е (Рис. 6.1). Первоначально емкость С разряжена. Генератор ступенчатого напряжения будем считать идеальным, т.е. имеющим нулевое внутреннее сопротивление и мгновенное нарастание сигнала.

Согласно второму закону Кирхгофа можно записать

 

 

Рис 6.1. Скачок напряжения на входе RC-цепи

 

где u_c и u_R - соответственно падения напряжений на емкости и сопротивлении.

Известно, что ток и напряжение на емкости связаны соотношениями

 

и

Тогда

или

. (6.4)

 

Уравнение (6.4) есть линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами.

Однородное уравнение - это уравнение (6.4) с нулевой правой частью

 

. (6.5)

 

Общее решение этого уравнения записывается в виде показательной функции

, (6.6)

 

где А и p - постоянные, подлежащие определению.

Подставим предполагаемое решение в (6.5)

или

 

. (6.7)

 

Уравнение (6.7) удовлетворяется для

 

. (6.8)

 

Выражение (6.8) называется характеристическим уравнением. Единственный действительный корень этого уравнения

 

. (6.9)

 

Подставив значение p в (6.6), получим

 

. (6.10)

 

Таким образом, имеем

 

. (6.11)

 

В нашем случае на вход RC – цепи подается скачок напряжения амплитудой Е. Следовательно,

 

Для определения постоянной интегрирования А используем начальные условия. Считаем, что в начальный момент времени емкость С разряжена и затем подается скачок напряжения. Так как емкость в момент подключения напряжения мгновенно зарядиться не может (первый закон коммутации), то

 

, , .

 

Таким образом, окончательно имеем:

 

. (6.12)

 

Свободную составляющую в выражении 6.12 представляет первое слагаемое – экспонента со знаком минус. Второе слагаемое – принужденная составляющая (постоянное напряжение Е ).

Принужденная и свободная составляющие во время переходного процесса являются теми расчетными компонентами, сумма которых дает действительные значения напряжения в электрической цепи (результирующее напряжение).

Графики результирующего напряжения и его двух составляющих представлены на рис. 6.2

 

Рис. 6.2. График заряда емкости

 

Общепринятым является понятие постоянной времени RC-цепи:

 

 

Результирующее напряжение можно записать в виде:

 

. (6.13)

 

При t = t, напряжение составляет примерно 0,632Е , для t = 3t - 0,95Е.

Теоретически напряжение на емкости достигнет значения Е только при t → ∞, но уже для t = 7t оно составит 0,999Е . На практике часто полагают, что переходный процесс в RC-цепи заканчивается за время 3 - 5t.