Воздействие гармонических колебаний на RLC-цепь

Термин гармоническое воздействие применяется в случаях, когда мгновенное значение э.д.с. или тока задающего независимого источника изменяется по закону

 

где U_m - амплитуда воздействия, ω - круговая частота, ψ - начальная фаза.

С целью упрощения дальнейших выкладок примем, что гармоническое воздействие имеет нулевую начальную фазу (ψ = 0).

При воздействии гармонического колебания на цепь RLC дифференциальное уравнение для напряжений в контуре будет выглядеть следующим образом:

. (6.25)

От ранее полученного выражения (6.15) оно отличается только правой частью.

Общее решение неоднородного уравнения (6.25) для напряжения на емкости будем искать в виде

. (6.26)

Ранее было показано, что в реальных цепях свободная составляющая со временем убывает по экспоненциальному закону (действительные и сопряженные комплексные корни находятся в левой части комплексной плоскости).

Следовательно, спустя некоторое время после приложения гармонического воздействия к цепи (точнее после завершения переходного процесса) в ней устанавливается режим гармонических колебаний. Другими словами, будет иметь значение лишь частное решение неоднородного дифференциального уравнения при t→∞.

Гармонические колебания тока в этой цепи описываются частным решением неоднородного уравнения (6.15), которое будем искать в виде

. (6.27)

Подставим это значение тока в уравнение (6.25) и после выполнения операций дифференцирования и интегрирования получим

, (6.28)

или

, (6.29)

Уравнение (6.29) справедливо для любых значений t. В частности для ωt=0

а для ωt = π/2

.

Из первого уравнения получим

, (6.30)

После суммирования квадратов обоих уравнений

 

. (6.31)

 

Уравнения (6.30) и (6.31) определяют соответственно фазу и амплитуду гармонического тока (6.27) в цепи RLC в установившемся режиме.

Установившееся напряжение на емкости после подключения синусоидального напряжения ко входу будет определяться как

 

. (6.32)

 

Обозначим через

 

, (6.33)

 

где Z - называют полное сопротивление.

Тогда для цепи, находящейся под воздействием гармонического тока, можно записать соотношение, аналогичное закону Ома

 

. (6.34)

 

Разность

 

(6.35)

 

принято называть реактивным сопротивлением.

С учетом введенного обозначения полное сопротивление

 

(6.36)

и угол

, . (6.37)

 

При Х > 0 говорят, что полное сопротивление Z носит индуктивный характер, при этом ток отстает по фазе от запитывающего напряжения на угол угол φ

При Х < 0 полное сопротивление Z носит емкостной характер и ток в цепи опережает по фазе входное напряжение на угол φ

 

.

 

Общее решение (6.26) можно записать в виде суммы свободной и принужденной составляющих

 

 

В момент времени t = 0 емкость С разряжена, а поскольку ток через индуктивность не может изменяться скачком, то в момент t=0 ток в цепи RLC также равен нулю

u_С(0) = -0 , i(0) = 0.

 

В таком случае для этих начальных условий можно записать для напряжений

 

 

Так как ток в контуре равен

 

,

,

 

то в соответствии с начальными условиями

 

,

.

 

Для упрощения дальнейших рассуждений введем обозначения

 

, (6.38)

. (6.39)

 

Тогда совместное решение уравнений

 

,

,

 

даст следующие значения:

 

и .

 

Свободная составляющая колебаний для комплексных сопряженных корней равна

 

,

где

и .

 

С учетом принужденной составляющей окончательно получим:

 

. (6.40)

 

Таким образом, согласно выражению (6.40) во время переходного процесса происходит суммирование затухающих колебаний с частотой ω_1, зависящей только от параметров самого контура, и частотой ω, определяемой частотой приложенного напряжения.

В частном случае, при подключении синусоидального напряжения с частотой ω₀ картина значительно упрощается. Действительно, при этих условиях

 

,

,

,

.

 

Добротностью последовательного контура, как известно, называется

 

.

 

На практике типичные значения добротности контуров лежат в пределах от нескольких десятков до сотен, поэтому, когда Q>>1

 

, .

 

Выражение для напряжения на емкости контура RLC будет выглядеть следующим образом:

 

.

 

На рис. 6.9 представлен график напряжения, построенный в соответствии с последним выражением.

 

Рис.6.9. Напряжение на емкости последовательного колебательного контура при подаче на его вход синусоидального напряжения

 

Важно, что время установления колебаний тем больше, чем выше добротность контура.