Воздействие гармонических колебаний на интегрирующую RC-цепь

Рассмотрим случай, когда в момент времени t=0 на входе RC-цепи включается источник синусоидального сигнала , а выходное напряжение снимается с емкости (рис. 6.10).

 

 

Рис. 6.10. Интегрирующая RC-цепь.

 

На основании (6.28) мы можем сразу записать для установившегося режима уравнение суммы напряжений в контуре, если положить в нем L = 0.

, (6.41)

, (6.42)

, (6.43)

где I_m и φ находятся из (6.30) и (6.31) при ωL = 0 .

Результирующее напряжение на емкости равно сумме свободной и принужденной составляющей

 

Из начальных условий t₀ = 0 и U_c(0) = 0 определим постоянную интегрирования

Отсюда

Раскрыв р, получим выражение для напряжения на выходе RC-цепи при подключении синусоидального напряжения

(6.44)

На рис. 6.12 представлены графики свободной (пунктирная линия) и принужденной (тонкая сплошная линия) составляющих, а также результирующее напряжение (толстая линия) для интегрирующей RC- цепи со следующими параметрами: R = 5600 Ом; C = 2,5 ·10^-7 Ф ; f = 115 Гц ; E_m = 10 B .

.

Рис. 6.12. Графики напряжений для интегрирующей RC-цепи.

Проанализируем выражение (6.44) для случая, когда ωRC>>1 . Согласно (6.42) ток в контуре

 

и согласно (6.43) угол φ будет небольшим, поэтому cos φ будет близок к единице

Найдем интеграл от выражения

Постоянная интегрирования для начальных условий

Таким образом интеграл с переменным верхним пределом

 

Обратите внимание, что интеграл от синусоидального напряжения содержит две компоненты - постоянную составляющую и переменную. Переменная составляющая выходного напряжения отстает по фазе от входного напряжения на угол π/2. Амплитуда переменной составляющей выходного напряжения и постоянное смещение обратно пропорциональны круговой частоте.

Выражение (6.46) отличается от (6.47) множителем 1/RC в первом и во втором слагаемом, наличием экспоненты у первого слагаемого и угла φ во втором слагаемом.

Следовательно, RC-цепь при ωRC>>1 и с учетом множителя 1/RC приближенно выполняет операцию интегрирования над входным сигналом . По этой причине такую RC-цепь называют интегрирующей.

В общем случае, когда на вход RC-цепи подается напряжение с произвольной начальной фазой ψ

,

для установившегося режима уравнение суммы напряжений в контуре будет иметь вид

.

От ранее полученного уравнения (6.41) оно отличается лишь появлением дополнительного угла ψ в аргументах тригонометрических функций. Значения I_m и φ останутся прежними ( формулы (6.42) и (6.43) ). Тогда установившееся напряжение на емкости ( принужденная составляющая )

.

Как было показано ранее, результирующее напряжение на емкости равно сумме свободной и принужденной составляющих колебания:

.

Для начальных условий t₀ = 0 и U_c(0+) = 0 определим постоянную интегрирования

,

.

Подставив значение р, получим выражение для напряжения на выходе RC-цепи при подключении синусоидального напряжения с произвольной начальной фазой

где

, .

В частном случае, если на вход RC-цепи подать синусоидальное напряжение с начальной фазой такой, чтобы

,

выходное напряжение согласно (6.45) сразу примет установившееся значение