Теоретические сведения

7.1 Теорема о компенсации и принцип взаимности.

Теорема о компенсации. Ток в ветви не изменится, если сопротивление R пассивного элемента в ней заменить источником ЭДС Е, величина ЭДС которого равна падению напряжения на этом элементе и направлена навстречу току I в нем.

Доказательство. В электрической цепи выделим ветвь ab с сопротивлением R и током I, а оставшуюся часть цепи представим в виде активного двухполюсника А (рис 1.22,а). Включим в эту ветвь два одинаковых источника ЭДС Е и , численно равными напряжению U=и направленных навстречу друг другу (рис 1.22,б). Очевидно, что ток ветви от этого не изменится.

 

 

 

При переходе из точки а в точку с (рис 1.22,б) потенциал понижается на величину падения напряжения на сопротивлении U=, а при переходе из точки с в точку d повышается на ту же величину, т. к. = U=. Следовательно, потенциалы точек а и d равны. Эти точки можно закоротить (соединить проводником, как показано на рис 1.22,б пунктиром), а источник ЭДС и сопротивление R из схемы удалить не изменив ток ветви ab. В результате получим схему, приведенную на рис 1.22,в.

 

В качестве примера рассмотрим цепь, приведенную ранее на рис 1.5.

Пусть Е₁=60 В; Е₂=40 B; U_ab=100 B; R₁=10 Ом; R₂=20 Ом; R₃=30 Ом. Тогда согласно выражению (1.2) ток ветви равен: I=== 2 A.

Согласно теореме о компенсации заменим сопротивление R₃ источником ЭДС Е₃== =60 B. В этом случае ток в ветви определяется выражением:

I= = = 2 A, т.е. ток ветви не изменился.

 

Принцип взаимности. Если в сколь угодно сложной электрической цепи единственный источник ЭДС Е, действуя, например, в ветви аb вызывает в другой ветви сd ток I_cd=I, то тот же источник ЭДС Е, перемещенный в ветвь сd вызовет в ветви аb ток I_аb, равный току I (т. е. источник ЭДС при его переносе из одной ветви в другую как бы вытесняет ток этой ветви в ветвь, где он ранее находился).

В качестве иллюстрации принципа взаимности рассмотрим схему, приведенную на рис 1.23,а.

 

 

 

 

Пусть Е=180 B; R₁=30 Ом; R₂=60 Ом; R₃=20 Ом. Для указанных значений ток в ветви с R равен: I = = 4 A.

Соответственно токи в ветвях с R₂ и R₃ составят:

1 А; 3 A.

Согласно принципу взаимности, при переносе источника ЭДС Е в ветвь с R₃ ток I₃=3 A вытесняется в ветвь с R₁, т. е. ток должен быть равен 3 А. Проверим это высказывание рассчитав токи в ветвях для схемы, приведенной на рис 1.23,б.

Ток равен = 4,5 А.

Соответственно токи в ветвях с R₁ и R₂ составят:

3 А; 1,5 А. Итак = I₃=3 А.

На принципе взаимности основан метод расчета электрических цепей, называемый методом взаимности. Этот метод следует применять для расчета цепей с одним источником и в том случае, если перенос источника упрощает схему.

 

Пример 1.7.Определить ток I₅ в диагонали неуравновешенного моста (рис 1.24), если Е=8 B; R₁=40 Ом; R₂=8 Ом; R₃=60 Ом; R₄=20 Ом; R₅=4 Ом.

 

 

Решение. Найдем ток I₅, применив принцип взаимности. Для этого перенесем ЭДС в ветвь с R₅, как показано на рис 1.24,б. Тогда ток ветви аb, где ранее был источник ЭДС, будет равен току I₅. Этот ток найдем по схеме рис 1.24,в.

Вначале определим эквивалентное сопротивление цепи относительно источника Е:

= 4+2,4+1,6=8 Ом.

Тогда ток =1 А.

В узле с ток I₀ разветвляется на два тока I₁ и I₃:

0,6 А, а 0,4 А.

 

В узле d ток I₀ складывается из токов I₂ и I₄, которые составляют определенную часть тока I₀ и соответственно равны:

0,2 А; 0,8 А.

Ток ветви аd относительно тока ветви са уменьшился на 0,4А (I₁–I₂=0,4А), а ток ветви bd, наоборот, увеличился относительно тока ветви cb на 0,4А

(I₄–I₃ =0,4А). Следовательно по ветви аb происходит переток тока от узла а к узлу b величиной 0,4 А (рис 1.24,в), т.е. ток I₅=0,4 А.

7.2 Метод эквивалентного генератора.

Метод эквивалентного генератора, как правило, используется в том случае, когда требуется определить ток в одной выделенной ветви, особенно если сопротивление используемой ветви изменяется или нелинейное. В основе этого метода лежит теорема об активном двухполюснике.

=

Rвх

U

Ток любой выделенной ветви, например аb, не изменится, если активную часть электрической цепи (активный двухполюсник А), к которой подсоединена выделенная ветвь аb, заменить источником с ЭДС Е, равной напряжению на зажимах разомкнутой ветви U_x и сопротивлением R_bx, равным входному сопротивлению активной части цепи или источником тока J, значение которого равно току I_к короткозамкнутой выделенной ветви аb, и проводимостью G_bx, равной входной проводимости активной части цепи

Рис 1.25

(рис 1.25).

 

 

Доказательство. В электрической цепи выделим ветвь аb с сопротивлением R и током I, а оставшуюся часть цепи представим в виде активного двухполюсника А (рис 1.26,а). Разомкнем (или удалим) ветвь аb. Между точками разрыва а и b возникнет напряжение холостого хода , а ток ветви, очевидно, будет равен нулю (рис 1.26,б).

 

Затем подключим к зажимам а и b источник с ЭДС Е^*=U_x, направленной навстречу U_x (рис 1.26,в). Ток ветви аb останется равным нулю на основании теоремы о компенсации (см. 1.8). Если в ветвь аb ввести еще одну ЭДС Е, также равную U_x, но противоположно направленную ЭДС Е^*, то полученная схема (рис 1.26,г) будет эквивалентна заданной (представленной ранее на рис 1.26,а).

В соответствии с принципом суперпозиции ток ветви аb можно представить как алгебраическую сумму частичных токов, создаваемых каждым из источников Е и Е^*

(рис 1.26). Но поскольку все источники, находящиеся внутри активного двухполюсника А совместно с источником ЭДС Е^* не вызывают тока в ветви аb, то следовательно ток в ветви аb создается только одним источником ЭДС Е = U_x , а двухполюсник при этом становится пассивным.

Таким образом для нахождения тока ветви аb вместо сложной схемы по рис 1.26,а можно воспользоваться схемой, представленной на рис 1.26,д, где ток определяется выражением:

, (1.24)

здесь R_bx – входное сопротивление пассивного двухполюсника, т. е. когда все источники ЭДС и токов в активном двухполюснике равны нулю.

Если ветвь аb содержит не только сопротивление R, но и ЭДС Е_ab , то ток в этой ветви определяется схемой на рис 1.26,е и равен:

, (1.25)

где ЭДС Е_аb берется со знаком ”+”, когда Е_x и Е_аb направлены в одну сторону, и со знаком ” - ”, если ЭДС Е_x и Е_аb направлены навстречу друг другу.

Последние две схемы (рис 1.26,д и рис 1.26,е) показывают, что всю оставшуюся часть электрической цепи по отношению к выделенной ветви аb можно представить в виде эквивалентного генератора с ЭДС генератора Е_г = U_x и внутренним сопротивлением генератора R_г = R_bx .

Если сопротивление ветви R_ab=0, то ток в ветви определяется как ток короткозамкнутой ветви I_к:

, (1.26)

т. е. входное сопротивление двухполюсника, а следовательно и внутреннее сопротивление генератора определяется выражением:

, (1.27)

Из выражения (1.27) следует, что параметры эквивалентного генератора (Е_г и R_г) можно определить также и экспериментально из опытов холостого тока (U_x=Е_г) и короткого замыкания (I_к), а разделив U_x на I_к определить и R_г.

На основании изложенного порядок расчета тока в исследуемой ветви методом эквивалентного генератора следующий:

1.Отключают исследуемую ветвь, осуществляя режим холостого хода, и каким – либо методом (контурных токов, по законам Кирхгофа и др.) определяют напряжение холостого хода U_x на зажимах разомкнутой ветви.

2.Находят входное (эквивалентное) сопротивление R_bx=R_г схемы относительно зажимов разомкнутой ветви, исключив при этом в двухполюснике все действующие источники ЭДС и токов по методике, изложенной в методе суперпозиции токов (источники ЭДС замыкают, а источники тока отключают).

3.Ток исследуемой ветви находят согласно выражению (1.24) или (1.25).

Пример 1.8. Для схемы (рис 1.27) определить ток I_ab в ветви аb, если

Е₁=120 В; Е₂=90 В; J=3А; R₁=10 Ом; R₂=20 Ом; R₃=60 Ом; R₄=15 Ом;

R₅=20 Ом; R₆=10 Ом.

Решение. Удалим (разомкнем) ветвь аb. Получим рассчетную схему для нахождения U_x (рис 1.28).

 

 

 

 

Для рис 1.28 введем обозначения:

U_ab=U_x=E_г=– напряжение холостого хода,

I₃ – ток ветви ас,

I₅ – ток ветви bd,

I₆ – ток ветви cd.

Токи I₃, I₅, I₆ создают падения напряжений на соответствующих сопротивлениях:

I₃R₃=U_ас, I₅R₅= U_bd, I₆R₆= U_cd.

Определяем токи I₃, I₅, I₆:

=1,5 А.

Ток I₅ равен току источника J=3 А, а ток I₆ равен нулю, т. к. контур аbcd для тока разомкнут.

По второму закону Кирхгофа составим уравнение для контура аbcd:

,

откуда или = 0+90 – 60=30 В.

Найдем входное сопротивление R_bx схемы относительно зажимов аb. Схема в этом случае имеет вид, представленный на рис 1.29.

 

=15+10+20 = 45 Ом.

Ток ветви аb найдем согласно схеме, представленной на рис 1.30.

 

 

= – 1, А.

Знак ”–” свидетельствует о том, что ток ветви аb течет в противоположном направлении, т. е. от узла b к узлу а.

 

7.3 Метод пропорциональных величин.

Метод пропорциональных величин (метод пропорционального пересчета) применяют для нахождения неизвестных токов в линейных электрических цепях с одним источником ЭДС (или тока). Для этого задаются произвольной величиной тока в самой удаленной от источника ветви n (например током I_n^*=1А), а затем последовательно перемещаясь от выбранной ветви к источнику находят все напряжения на разветвлениях и токи в ветвях. В результате получается некоторое условное значение напряжения (или тока) источника U_и^*(или J_и^*), которое вероятнее всего будет отличаться от заданного. Взяв отношение заданного значения источника U_и к полученному U_и^*(или J_и к J_и^*) определяют коэффициент пересчета (коэффициент подобия)

(или ), (1.28)

а действительные токи и напряжения на всех участках цепи находят умножив расчетные значения на коэффициент пересчета

, (1.29)

где I_i – истинное значение тока i ветви,

I_i^*– расчетное значение тока i ветви.

Пример 1.9. Найти токи в ветвях схемы, представленной на рис 1.31

методом пропорциональных величин, если Е=80 В; R₁=8 Ом; R₂=4 Ом;

R₃=2,5 Ом; R₄=2 Ом; R₅=8 Ом.

 

Решение. 1.Задаемся током I₅ равным одному амперу (I₅^*=1А), тогда остальные токи будут равны:

;

;

;

.

2.Находим расчетное значение ЭДС Е^*:

.

3.Определяем коэффициент пересчета К по формуле (1.28) и находим истинные значения токов в ветвях:

;

;

;

;

;

.