Цепи переменного тока. Импеданс.

 

а) перем ток в цепи с активн сопративл

U=U_mcoswt

Колеб силы тока происх в такой же фазе, что и напр.

Действ знач силы перем тока наз сила такого пост. тока которое произв такое теплов действие как и при перем токе.

б) перем ток в цепи с емкостью

U=U_mcoswt q=CU=CU_mcos wt

По ф-ле приведения: -sinwt=cos(wt+p/2)

i=wCU_m cos(wt+p/2)

в) пер ток в цепи с индуктивностью

 

U=U_mcoswt e_si=-L*(di/dt) U= -e_si U_mcoswt=L(di/dt)

di=(U_m/L)*coswt dt

 

Амплитуда:

I_m=U_m/wL => X_L=U_m/I_m=wL

г) перем ток в цепи с элементами R,C,L

 

Сила перем тока изм на всех участках цепи одинак.

Импеданс:

 

 

4. Гармонич. колеб.Диф. ур-е гарм. колеб. и его реш.

 

В колеб контуре сумма падений напряжения на индуктивности и на емкость равна нулю, поэтому Введем обозн i=q и перепишем

Поскольку L м С- величины сугубо положительные, можно ввести обозн тогда

Таким образом, колеб заряда на обкладк конденсатора опи­сыв-ся лин однородным дифференциальным ур-ем второго порядка. Необходимо найти такую связь между q и t , что­бы она удовлетворяла этому уравнению. Реш дифф уравнения является выражений вида q=q_mcosj=q_mcos(w₀t+j₀) , где q_m,j,j₀ - пост, которые могут быть определены из нач условий.

Действительно, взяв вторую производную от q, по t и подставив её мы получим тождество

В уравнении qm называется амплитудой, аргумент начальной фазой колебания (при t = 0). С одинаковым правоммы могли бы написать уравнение вида

Движения, описываемые уравнениями, являются тож­дественными. j0 для каждого частного случая в этих уравнениях имеет различное значение. Из этих уравнений видно, что заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону, поэто­му эти уравнения называются уравнениями гармонического колебатель­ного движения. График гармонического колебания показан на рисун­ке. Величина наибольшего заряда qm на об­кладках конденсатора называется амплитудным значением заряда. Амплитуда – величина положи­тельная, фаза определя­ет состояние колеблющейся системы в каждый момент времени. Величина начальной фазы зависит от начала отсчетавремени. Поскольку косинус - периодическая функция с периодом 2п, различ­ные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через период Т, за который фаза колебаний получает приращение, равное2п,т.е. , откуда Число колебаний в единицу времени называется частотой колеба­ний. Очевидно, что За единицу частоты принимается частота такого колебания, период которого равен I с. Эту единицу называют герцем (Гц,). Используют­ся также кратные единицы: I кГц = I0³ Гц(, I МГц» = I0⁶ Гц.

Из этого следует, что

w, представляет собственную частоту колебаний контура. Она назы­вается циклической частотой и равна числу колебаний за 2п секунд. Из этих уравнений получается соотношение следует, что

Подставив, получим Разделим левую и правую части выражения на С , получим

Продифференцировав функцию по времени, получим выражение для силы тока

Сопоставив формулы,заключаем, что в момент, когда ток достигает максимального значения, заряд (а также напряжение) обращается в нуль, и наоборот. Это происходит вследст­вие того, что между током и напряжением сдвиг по фазе равен п/2.

 

5. Энергетические превращения происходящие при гарм - их колебаниях.

 

В некоторый момент времени t энергия электрического поля конденсатора равна:

А энергия магнитного поля:

Полная энергия колебания равна сумме:

Таким образом в процессе колебаний изменяется только энергия электрического и магнитного полей, полная энергия колебаний контура остается неизменной и равной наибольшей энергии конденсатора q_m²/2C или наибольшей энергии магнитного поля LI_m²/2. Энергия переходит из одного вида в другой. Обратим внимание на то что энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды значений заряда или силы тока.

 

6. Сложение 2 гарм колеб одного напр и одинак частоты

 

При разл расчетах прих-ся опред переменный ток как сумму двух или нескольких переменных токов или какое-нибудь напряжение как сумму нескольких напряжений. При этом суммируемые токи или напряжения могут иметь разл амплитуды и быть сдвинутыми по фазе. Сложение их можно выполн аналитически или графи­чески, но первый способ более громоздкий.

Рассмотрим вначале, какое результ колеб получ при слож двух колеб, одинаково направленных и одинаковой частоты, имеющих разные начальные фазы и амплитуды. Пусть

(1)

Результирзнач X определится как сумма:

(2)

рис 1

 

Выпол это сложение графич. Предст оба колеб-я векто­рами амплит. и и будем вращ их против час. стрелки с один. угло­вой скоростью w₀ (рис. 1). Тогда угол между векторами будет все время оставаться равным j₂-j₁.Т.к. x=x₁+x₂,то результ колеб. может быть изоб­ражено вектором амплитудыполуч геометрич сложением векторов и .

 

Из рис 1 имеем (3)

Таким образом, вектор со временем не меняется и вращается с угловой скоростью w₀ . Отсюда след, что результ коле­бание предст собой гармонич колеб. Нач фаза этого колеб опред извыражения:

Из формулы (3) видно, что амплитуда результ колеб зависит от разн фаз (j₂-j₁) слагаемых колебаний. Рас­смотрим частные случаи.

1. Разность фаз кратна четному числуp , т.е. j­₂-j₁ = ±2mp,

где m, = 0,1,2......

Тогда колеб происх в одинаковых фазах и ампл-х резуль­т колеб (рис.2) равна А=А₁+А₂

2. Разность фаз кратна нечетному числа p , т.е. j_2­-j₁=±(2m+1)p

рис 2

где m - 0,1,2,.... В этомслучае колебания происходят в противофазе и амплитуда резервирующ колеб (рис.3) равна А=|А₂+А₁| В частности, если А₁=А­­₂, то А=0

рис 3

т.е. колебания гасят друг дру­га.

Если разн фаз склады­в колеб имеет произ­в знач, то амплитуда результир колеб заключ в пределах

Колебания, имеяцие одинако­вые частоты и не меняющийся со временем разность фаз, называют когерентными колебаниями. Полученные результаты сложения когерент­ных гармонических колебаний будут использованы при рассмотрении явления интерференции электромагнитных волн.

 

7. Слож 2 гарм колеб одн направл с мало отлич частотами

 

Если частоты складываемых колеб неодинаковы то векторы и на векторной диаграмме будут вращаться с различной скорость. Тогда результ.вектор будет меняться по величи­не и вращ. с непостоянной скоростью. След, результ. колеб. будет негармонич.

Особый интерес представляет случай, когда два складываемых ко­лебания имеют одинаковые амплитуды и мало отличаются по частоте. Положим нач фазы колебаний равными нулю. Тогда уравнения ко­лебаний примут следующий вид:(1), где w­₂-w₁=Dw<<w­₁ w₂=w₁+Dw

Складывая выражения (1), получим x=x₁+x₂=A(cosw₁t+cosw₂t)=

(2)

рис 1 Заключ в скобки множитель в формуле (2) изменяется значи­тельно медл, чем 2 множитель. Ввиду условия Dw<<w за то время, за кот множитель cosw₁t совершит неск коле­б, множитель, стоящий в скобках, почти не изменится. Это дает основание рассм колебание (2) как гармоническое колеба­ние частоты w₁ , ампл котор. медленно изменяется с час­тотой по закону | 2Acos(Dw/2)*t | Знак модуля стоит потому, что по опред амплитуда-величина положительная. Отсюда частота колеб амплитв 2 раза превыш частоту, стоящую под знаком модуля, т.е. равна Dw. Уравнение (2) можно переписать в виде: (3)

График функции (3) представлен на рисунке 1

Такие колеба­ния называются биениями, а частота пульсаций амплитуда назыв частотой биения. Она равна Dw.