Случайные процессы и их характеристики

Случайный процесс характеризуется тем, что какая-либо случайная величина изменяется во времени, причем это изменение управляется вероятностными законами. Конкретный вид случайного процесса называется реализацией случайного процесса (рис. 5.7). множество реализаций образуют ансамбль реализаций.

 

Рис.5.7 Пример реализаций случайного процесса

Случайные процессы подразделяются на нестационарные, стационарные и эргодические (рис.5.8).

Нестационарные случайные процессы - это случайные процессы, статистические характеристики которых различны во всех сечениях.

Стационарные случайные процессы. Так принято называть случайные процессы, статистические характеристики которых одинаковы во всех сечениях.

Говорят, что случайный процесс стационарен в узком смысле, если любая его -мерная плотность вероятности инвариантна относительно временного сдвига :

.

Если же ограничить требования тем, чтобы математическое ожидание и дисперсия процесса не зависели от времени, а функция корреляции зависела лишь от разности , т.е. , то подобный случайный процесс будет стационарен в широком смысле. Понятно, что из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле, но не наоборот.

Как следует из определения, функция корреляции стационарного случайного процесса является четной:

.

Кроме того, абсолютные значения этой функции при любых не превышают ее значения при :

 

.

 

Стационарный случайный процесс называют эргодическим, если при нахождении его моментных функций статистическое усреднение по ансамблю реализаций можно заменить усреднением одной реализации по времени. Операция усреднения выполняется над единственной реализацией , длительность которой теоретически может быть сколь угодно велика. Обозначая усреднение по времени черточкой сверху, запишем математическое ожидание эргодического случайного процесса:

 

,

 

которое равно постоянной составляющей выбранной реализации.

Дисперсия данного процесса

 

.

 

Поскольку величина представляет собой среднюю мощность реализации, а величина - мощность постоянной составляющей, дисперсия имеет физический смысл мощности флуктуационной составляющей эргодического процесса.

Аналогично находят функцию корреляции:

 

.

 

Очевидно эргодический случайный процесс обязательно стационарен, обратное не всегда выполняется. Достаточным условием эргодичности случайного процесса, стационарного в широком смысле, является стремление к нулю функции корреляции при неограниченном росте временного сдвига :

.

 

Предполагая эргодичность процессов мы пытаемся упростить математику. Вместе с тем, свойство эргодичности исключает возможность представления и анализа динамики случайных процессов, характеристик, определяющих особенность изменения его параметров во времени. Кроме того, математиками пока не разработан удобный для инженеров математический аппарат случайных процессов и полей, отображающий саму эту динамику. Единственный конструктивный математический аппарат, который используют для отображения свойств процессов в том числе и нестационарных – это аппарат марковских случайных процессов, процессов диффузионного типа.