Спектральные представления стационарных случайных процессов

Спектральные плотности реализаций. Рассмотрим стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием: . Отдельно взятая реализация этого процесса есть функция, которую можно представить в виде обратного преобразования Фурье

 

 

с некоторой спектральной плотностью .

Однако для случайного процесса такое представление получить не удается, поскольку данное преобразование можно производить лишь с детерминированными функциями. Поэтому на практике используют не сам процесс, а его корреляционную функцию, являющуюся детерминированной

 

 

Итак, функция корреляции и спектр мощности стационарного случайного процесса связаны между собой преобразованием Фурье. Поэтому

 

Данная теорема в теории случайных процессов получила название теоремы Виннера-Хинчина.

Теорема Винера-Хинчина является важнейшими инструментом прикладной теории случайных процессов.

Интервал корреляции. Реальные случайные процессы, обладают следующим свойством: их функция корреляции стремится к нулю с увеличением временного сдвига . Чем быстрее убывает функция , тем меньшей оказывается статистическая связь между мгновенными значениями сечений случайного сигнала в два несовпадающих момента времени.

Числовой характеристикой, служащей для оценки «скорости изменения» реализаций случайного процесса, является интервал корреляции , определяемый выражением

 

.

 

Часто используют функцию корреляции в виде двухсторонней экспоненты (рис.5.9).

где .

Очевидно при экспонента . Считается, что интервал корреляции определяется в точке, где корреляционная функция .

Рис.5.9 Пояснения к понятию интервала корреляции

 

Если известна информация о проведении какой-либо реализации «в прошлом», то возможен вероятностный прогноз случайного процесса на время, не превышающее . Однако попытка прогнозирования на время, превышающее интервал корреляции, окажется безрезультатной – мгновенные значения, столь далеко отстоящие во времени, практически некоррелированы, т.е. среднее значение произведения стремится к нулю.

Эффективная ширина спектра. Пусть исследуемый случайный процесс характеризуется функцией - односторонним спектром мощности, причем - экстремальное значение этой функции. Заменим мысленно данный случайный процесс другим процессом, у которого спектральная плотность мощности постоянна и равна в пределах эффективной полосы частот , выбираемой из условия равенства средних мощностей обоих процессов:

.

 

Отсюда получается формула для эффективной ширины спектра:

 

.

 

 

 

Этой числовой характеристикой часто пользуются для инженерного расчета дисперсии шумового сигнала: . Например, если известно, что =5·10^-9 Вт/Гц, =3·10⁵ Гц, то =1,5·10^-3 Вт, откуда среднеквадратическое значение напряжения шума =39 мВ.

Эффективную ширину спектра случайного процесса можно также определить множеством других способов, например, исходя из условия уменьшения значений спектра мощности на границе этого частотного интервала до уровня 0.1. В любом случае величины и должны быть связаны соотношением неопределенности ,вытекающим из свойств преобразования Фурье.

Белый гауссовский шум. В теории связи так принято называть стационарный случайный процесс с постоянной на всех частотах спектральной плотностью мощности:

.

 

Плотность его распределения считается гауссовой.

Термин «белый гауссов шум» образно подчеркивает аналогию с «белым» (естественным) светом, у которого в пределах видимого диапазона интенсивность всех спектральных составляющих приблизительно одинакова.

По теореме Винера-Хинчина функция корреляции белого шума

 

 

равна нулю всюду, кроме точки =0. Средняя мощность (дисперсия) белого шума неограниченно велика, уровень его в любой точке оси нулевая.

 

 

 

Белый гауссов шум является абстрактной математической моделью и отвечающий ему физический процесс в природе лишь приближается по своим свойствам. Теоретическая корреляционная функция и спектральная плотность мощности БГШ показаны на рис. 5.11.

 

 

 

Практическая реализация БГШ и его гистограмма плотности распределения вероятности показаны на рис.5.12.

 

А корреляционная функция и спектральная плотность мощности практической реализации БГШ.