Экспериментальные исследования

Несмотря на всю привлекательность аппарата дифференциальных уравнений, большую часть металлургических систем невозможно описать с достаточной точностью в рамках детерминированных аналитических моделей, так как многие объекты просто недостаточно изучены, а главное – они относятся к так называемым плохо организованным, или диффузным системам.

Со времен Ньютона исследователи стремились иметь дело с хорошо организованными системами (объектами), в которых можно было бы выделить подсистемы (элементы) одной физической природы, зависящие от небольшого числа переменных. Результаты исследования представлялись хорошо обоснованными функциональными связями, которым приписывалась роль законов.

В течение более чем 200 лет исследователю внушали, что он может стабилизировать все входы (независимые переменные, факторы) своего объекта. Затем, поочередно изменяя значения (уровни) одного из них при стабилизированных значениях остальных, он устанавливал зависимости выходной переменной (отклика) от входных (факторов).

Однако в начале ХХ в. исследователи поняли, что в реальных объектах невозможно установить непроницаемые перегородки, разграничивающие действие переменных различной физической природы. Поэтому для изучения многих реальных объектов, в том числе и технологических процессов в металлургии, сталииспользовать идеи и методы многомерной математической статистики.

Здесь следует еще раз оговориться, что математическая статистика применима не к любому хаотическому набору данных, а только к таким данным, для которых можно построить функции распределения, или, иными словами, для которых существует устойчивость частот. Говорят, что случайная величина является заданной, если задана ее функция распределения. Можно разделить случайные величины на случайные (в указанном выше смысле) и неопределенные (для которых закон распределения построить невозможно).

Объект при экспериментальном исследовании в большинстве случаев рассматривается как черный ящик, имеющий входы (факторы), влияющие на функционирование этого объекта, и выходы (функции отклика). Сущность модели сводится к установлению связи между входами и выходами. Физическая сущность модели при этом не рассматривается. Однако с помощью экспериментальных исследований удается уточнить аналитические модели, в которые заранее (априори) вводят неизвестные коэффициенты, определяемые по результатам опытов. Такая процедура, как уже отмечалось, называется идентификацией.

Экспериментальные исследования проводят в основном для построения моделей на более высоких уровнях иерархии технологического процесса, чем уровни элементарных процессов. Это объясняется трудностями экспериментального определения дифференциальных (распределенных) характеристик объекта. С развитием экспериментальной техники эти трудности постепенно преодолеваются. Имеет значение и то обстоятельство, принимаем ли мы во внимание динамические особенности процесса. Этим же определяется и применяемый математический аппарат.

Если мы не принимаем во внимание динамические эффекты, то используется классический аппарат теории вероятностей и математической статистики.

Результат представляется в виде независимой от времени связи «входы-выходы» между статистически усредненными переменными, а также содержит дополнительную статистическую информацию (дисперсии, коэффициенты корреляции, непараметрические оценки и т.д.). Модели имеют вид дисперсионных или регрессионных зависимостей, в общем случае нелинейных (полиномиальных), полученных с использованием стандартного математического обеспечения ЭВМ.

В динамических задачах, когда стохастические факторы накладываются на эффекты последействия объекта, математической основой описания является аппарат теории случайных функций или процессов. Случайная функция – это функция, значения которой при каждом значении аргумента (времени) представляют собой случайные величины (с определенными распределениями). Основными типами таких моделей являются корреляционные и спектральные модели, а также модели, основанные на так называемых «марковских» или «полумарковских» процессах.

Следует отметить, что динамико-статистическое моделирование обеспечивает наиболее полное описание сложных объектов-оригиналов и служит незаменимым инструментом для решения различных проблем, в том числе и в металлургии.

Большое значение при использовании статистических методов имеет процесс выдвижения исследователем гипотез. Под гипотезой в данном случае понимается любое утверждение, поддающееся дальнейшей проверке (например, что результаты анализа одной и той же пробы, проведенной разными лабораториями, различим, или что механизм химической реакции описывается некоторым математическим выражением). Предложить какие-то алгоритмы, которые просто выводили бы новые закономерности из новых данных без предварительного выдвижения гипотез, просто невозможно. Можно, пользуясь статистическими методами, выбрать одну из выдвигаемых гипотез или уточнить выдвигаемую априори одну гипотезу.

Необходимо отметить, что процесс выдвижения и анализа статистических гипотез также не формализован. Все попытки с использованием самых тонких статистических методов не приведут к полезным результатам, если все выдвинутые гипотезы неверны.

Современная статистика внесла концепцию случая в эксперимент, заставив исследователя искусственно создавать случайную ситуацию (рандомизацию) при проведении опытов. Сущность рандомизации сводится к тому, чтобы сделать случайным влияние систематических факторов, которые трудно учесть или проконтролировать. Наличие большого числа таких факторов как раз и характерно для реальных металлургических объектов. Как только эти факторы переведены в разряд случайных, они могут учитываться статистически.

Это – принципиальное обстоятельство. При традиционном подходе к эксперименту, когда считается, что все факторы можно учесть, а их влияние отделять друг от друга, рандомизация и планирование (определенная стратегия) эксперимента смысла не имеют.

Во многих реальных случаях невозможно осуществить полную рандомизацию эксперимента. Поэтому появилась необходимость в создания специальных планов проведения экспериментов с ограничениями на рандомизацию.

Большое значение для современного эксперимента имеет концепция последовательного пошагового проведения опытов с переходом от предыдущего шага к последующему после анализа результатов, полученных на предыдущем шаге. Такой подход получил наибольшую эффективность в задачах планирования экстремальных экспериментов (например, метод Бокса-Уилсона). При этом исследователь продвигается к экстремуму (максимуму или минимуму) отклика (выходной переменной) по кратчайшему пути.

Наконец, отметим еще одну концепцию, которая используется в современном эксперименте и делает его эффективным. Эта концепция так называемого многофакторного эксперимента (в отличие от традиционного однофакторного). Сущность многофакторного эксперимента сводится к тому, что производится варьирование всех переменных сразу (в отличие от поочередного варьирования каждой переменной).

Рассмотрим пример. Предположим, что взвешиваются 3 вещества: А, В, С.

Традиционный экспериментатор проводил бы взвешивание по следующей схеме.

№ опыта	А	В	С	результат
	-1	-1	-1	y0
	+1	-1	-1	y1
	-1	+1	-1	y2
	-1	-1	+1	y3

Вначале он находит нулевую точку весов (-1 означает, что вещество не на весах), а затем по очереди независимо друг от друга взвешивает А, В и С (что символически обозначается как +1).

Масса каждого вещества оценивается только по результатам двух испытаний (1 и 2, 1 и 3, 1 и 4). Например, А = у₁ - у₀. Дисперсия результатов взвешивания будет равна

σ²{A} = σ²{ у₁ - у₀}= 2 σ²{y}

где σ²{y} – ошибка взвешивания.

Можно провести тот же эксперимент по другой схеме.

Здесь в первых опытах поочередно взвешивают А, В и С, а в последнем - взвешивают А, В и С вместе.

№ опыта	А	В	С	результат
	-1	-1	+1	y1
	+1	-1	-1	y2
	-1	+1	-1	y3
	+1	+1	+1	y4

Масса каждого вещества в данном случае определяется формулами

А = (-y₁ + y₂ – y₃ + у₄)/2, В = (-y₁ - y₂ + y₃ + у₄)/2, С = (-y₁ + y₂ – y₃ + у₄)/2

и вычисляется по результатам четырех измерений. Деление на 2 необходимо в связи с тем, что масса каждого вещества входит в числитель два раза.

Дисперсия взвешивания А определится так:

σ²{A} = σ²{ (-y₁ + y₂ – y₃ + у₄)/2}= 4 σ²{y}/4 = σ²{y}.

и будет в два раза меньше дисперсии взвешивания, найденной при первом способе. Таким образом, можно достигнуть увеличения точности только за счет новой схемы проведения эксперимента. К тому же эффективность такого подхода растет с увеличением числа факторов.

Есть и еще одно обстоятельство, которое показывает преимущества многофакторного эксперимента. Если мы хотим построить только линейную регрессионную модель, то можем резко сократить число опытов по сравнению с традиционным экспериментом.

В общем случае следует различать активный и пассивный эксперименты. При пассивном эксперименте (традиционная схема эксперимента) в отличие от активного, мы не фиксируем уровни факторов и не оцениваем их взаимозависимость.

И в том, и в другом случае результаты можно представить в виде полиномиальной регрессионной модели. Однако принципиальная разница заключается в том, что в активном эксперименте измеряется отклик на специальное варьирование переменных, а в пассивном измеряется отклик, обусловленный не только исследуемыми, но и ненаблюдаемыми переменными. Мы уже говорили о том, что в активном эксперименте ненаблюдаемые переменные за счет рандомизации и планирования опытов сводятся к случайным воздействиям и не имеют корреляционной связи с основными факторами. Поэтому оценки коэффициентов регрессии являются несмещенными, т.е. они оценивают только конкретный коэффициент. В пассивном эксперименте исследуемые переменные, как правило, коррелированы с ненаблюдаемыми факторами и оценки смещены.

Нужно, однако, отдавать отчет и в том, что постановка активного эксперимента не всегда осуществима (например, для сталеплавильных процессов).

С другой стороны, недостаточное изучение закономерностей сложной системы может привести к заведомо ошибочным результатам при формальном использовании методов математической статистики.

Отметим также, что обработка результатов экспериментальных исследований объектов при помощи дисперсионного анализа позволяет для сложного многофакторного процесса оценить дисперсии («разброс»), вызванные каждым фактором в отдельности, определить уровень влияния изучаемых технологических факторов на выходные характеристики процесса.

Дисперсионный анализ дает возможность ответить на вопрос, влияет или не влияет изучаемый фактор на отклик, но он не позволяет определить ни степень, ни характер этого влияния.

Применение регрессионного анализа позволяет получить зависимость выходных величин от входных в виде какой-либо функции, например, полинома. При этом можно оценить значения коэффициентов уравнения при условии, что вид уравнения задан заранее. Выбор вида уравнения приходится делать исследователю. Регрессионный анализ предполагает, что входные переменные (факторы) не являются случайными величинами (и независимы между собой).

Нахождение связи между случайными или взаимосвязанными величинами является задачей корреляционного анализа. Корреляционный анализ позволяет выяснить зависимость или независимость переменных и применяется, как правило, на первом этапе моделирования, когда стоит задача выявления независимых факторов, оказывающих наиболее сильное влияние на выходные характеристики.

В итоге еще раз подчеркнем, что математическая статистика может предложить исследователю не набор рецептов для обработки экспериментальных данных, а набор идей, служащих основой для создания математической теории эксперимента. Применение идей и методов математической статистики резко сокращает объем экспериментальных исследований и увеличивает четкость суждения исследователя об эксперименте.

Математическая статистика не может подсказать исследователю, как сформулировать цель исследования. Даже после формулировки цели остается неясным, как из множества статистических методов выбрать наиболее подходящий.