ТРЕХШАРНИРНАЯ АРОЧНАЯ ФЕРМА

Пример 6.1. Построить линии влияния усилий в стержнях трехшарнирной арочной фермы, изображенной на рис. 6.1, а. Горизонтальные составляющие реакций будем называть, как и при расчете трехшарнирных арок, распором и обозначать Н. Построим линию влияния усилия 0_1-2. Для этого проведем сечение 1—1 через три стержня. Рассмотрим равновесие левой части фермы при произвольных положениях груза Р=1 правее точки 2. Уравнение равновесия запишем относительно моментной точки 7:

V_A ∙ 3d - H∙ 2d+O_1-2d -= 0; V_A ∙ 3d = .

Отсюда

O_1-2= (6.1)

Можно показать, что формула (6.1) справедлива и при положениях P=1 левее точки 1. Следовательно, аналитический путь поcтроения линий влияния для арочных ферм, так же как и для трехшарнирных арок, требует предварительного построения линий влияния балочного момента и распора Н.

Формула (6.1) может быть использована и при определении усилий от действия постоянных узловых нагрузок. Для определения усилий от постоянной нагрузки можно применять также и графический метод.

Для получения очертания линии влияния искомого усилия прямым путем используем метод нулевой точки, который при изображении схемы фермы строго в масштабе дает достоверные значения й ординат линий влияния без излишних вычислений.

Пусть сила Р=1 расположена правее точки 2 и левее точки С. Тогда направление полной опорной реакции R_В совпадает с прямой ВС. Найдем такое положение силы Р—1, при котором О_1-2=0. Последнее (из условия равновесия левой части фермы) возможно тогда, когда направление Ra проходит через моментную точку 7. Искомое положение Р=1 найдем на пересечении прямых А7 и ВС в точке К (ферма под действием P=l, R_A a R_В будет в равнове­сии, если эти три силы пересекаются в одной точке). Найденному положению силы Р=1 соответствует нулевая ордината линии влия­ния O_1-2, обозначенная (рис. 6.1, б).

Для определения еще одной ординаты линии влияния при поло­жениях Р=1 правее пересеченной панели 1—2 искусственно удли­ним участок 2—С, приделав жесткую консоль, и поставим груз Р=1 на этой консоли над точкой А (см. рис. 6.1, а). При этом положении Р=1 из условий равновесия фермы в целом V_B=H=0; V_A= 1. Величину O_1-2, соответствующую положению Р=1 над точ­кой А, найдем из уравнения равновесия части фермы, очерченной на рис. 6.1, а штриховой линией, а именно: . В развер­нутом виде это уравнение имеет вид

С учетом Va = 1 получим O_1-2 = —3. Отложив эту ординату под точкой А и соединив с точкой прямой , получим часть ли­нии влияния О_1-2, справедливую при положениях Р=1 правее пе­ресеченной панели в пределах 2'С'.

Левую прямую А'2' получим исходя из известного положения о том, что она проходит через нулевую ординату под левой опорой и пересекается с правой прямой под моментной точкой. Передаточ­ная прямая 1'2' совпадает с левой прямой. Участок линии влияния C'В' получим, сoединив найденную выше ординату под точкой С прямой линией с нулевой ординатой В' под точкой В. Построен­ная линия влияния O_1-2 изображена на рис. 6.1, б.

На рис. 6.1, б, г изображены соответственно линии влияния V_2-7 и U_7-6 , построенные изложенным выше способом нулевой точки. При построении линии влияния U_7-6 точка 2 —моментная, K₁ —нулевая. При построении линии влияния V_2-7 точка С одновременно является моментной и нулевой. Заметим, что линию влияния V_2-7 нетрудно построить также другим способом: последвательно вырезая узлы 2, 3, 4 при различных положениях силы Р=1.

Для построения линии влияния D_1-7 рассмотрим равновесие вырезанного узла 1 (рис. 6.1 д) вначале при положении Р=1 вне этого узла. Проектируя все силы на ось , найдем

(6.2)

Это значит, что для построения линии влияния D_1-7 все ординаты линии влияния O_1-2 необходимо умножить на «поправочный» коэффициент . При положении Р=1 в узле 1 формула (6.2) примет вид

(6.3)

Рис. 6.3.

Линия влияния D_1-7, построенная с учетом формул (6.2) и (6.3), изображена на рис. 6.1, е. В пределах пересеченных панелей 8—1, 1—2 проведены передаточные прямые 8'—1' и 1'—2'.

Метод нулевой точки может быть использован и при расчете на подвижную нагрузку ферм с наклонными опорными стержнями (рис. 6.2, а). Здесь роль правого диска трехшарнирной арочной фермы играет стержень ВС.