Общее уравнение упругой линии сжато-изогкутого стержня
Общее уравнение упругой линии сжато-изогкутого стержня
Применение общего уравнения упругой линии сжато-изогнутого стержня в форме метода начальных параметров позволяет значительно упростить решение ряда… (1) Получаемое решение дает достаточно точные результаты при действии сжимающей силы S<0,85Sэ, где Sэ — эйлерово…Упругие реакции для сжато-изогнутого стержня в единичных состояниях
Как известно, по методу перемещений необходимо уметь определять реакции в введенных связях (заделках и в дополнительных опорных стержнях), реакции… Рассмотрим определение этих реакций на основе применения обобщенных уравнений… 1. Стержень, шарнирно опертый при наличии взаимного линейного смещения. Для этого случая (рис. 264, а) при взаимном…I
2. Стержень, защемленный одним концом, со свободным верхним концом. В данном случае поперечная сила
j
равна нулю. Положим, что защемление получает поворот на угол α0=1 (рис. 264, в).Момент в защемлении M0 уравновешен моментом от силы Р. Обозначая k = P/(EI)0.5по уравнению (9), пишем для верхнего свободного конца условие равенства нулю изгибающего момента:
откуда
3. Стержень, защемленный одним концом, другим шарнирно опертый при Q= 0. Рассмотрим первый случай, когда Q = 0 (рис. 265, а). Пусть имеет место линейное смещение заделки без поворота 
Момент в защемлении в этом случае равен моменту силы Р, т. е.
Рассмотрим теперь второй случай, когда Q = 0 и задан угол поворота защемления 
1
при наличии линейного смещения заделки (рис. 265, б). По уравнению (8) получаем при х = l
откуда
Применяя теперь уравнение (9), находим при
4. Стержень, защемленный двумя концами при Q=0. Найдем моменты, действующие со стороны защемлений а и b на стержень при повороте верхнего защемления на угол
(рис. 265, е), если 
По уравнению (8) имеем
откуда
Теперь по уравнению (9) получаем
Важен еще случай защемления стержня двумя концами при наличии взаимного смещения концов
без поворотов заделок.
По уравнению (17.7), при Q=0
откуда
5. Стержень, шарнирно опертый одним концом и защемленный другим. Рассмотрим влияние поворота защемления
при Q<>0 на угол а=1 (рис. 266, а). В этом общем случае пользуемся условием равенства прогиба нулю на правом конце:
откуда при аа=1 получаем
где
Найдем в этом случае реакцию:
Рассмотрим теперь случай, когда для того же стержня задано смещение защемления на Δ=1 без поворота (рис. 266, б). Применим теорему Бетти к двум состояниям линейного смещения и поворота:
откуда
Далее, зная
и дополнительный момент от продольных сил
, определяем реакцию
(16)
В формуле (16)
(17)
По формуле (17) составлены таблицы функции ή1.
6. Стержень, защемленный двумя концами при 
Изучаем влияние единичного поворота левой заделки на
αа=1 (ряс. 267, а). Используя уравнения равенства нулю прогиб и угла наклона у правой заделки, получаем:
Используя выражение (9), определяем момент Мь:
Определяем в этом случае реакцию Ra, выражая ее через опорные моменты:
где
Отсюда имеем равенство
Рассмотрим теперь влияние взаимного линейного смещения защемлений (рис. 267, б). В этом случае, очевидно, Ma = Mb. Применив теорему Бетти к двум состояниям (рис. 267, а, б), получим
откуда
Обозначив реакцию во втором состоянии через
получим
или
Таблица численных значений функций 
дана
в работе [8] и в приложении 2.
Рассмотрим еще случаи потери устойчивости стержней на упругих опорах. Реакцию упругой опоры полагаем линейно зависящей от смещения ее:
где г - коэффициент жесткости. Нередко этот коэффициент меньше 
, где
-устойчивый коэффициент жесткости, соответствующий
(для стержня по рис. 268, а
). В первом случае из условия равновесия получаем 
, откуда Р = 
и, значит,
(а)
Получили выражение для критического параметра в случае стержня по рис. 268, а.
Если в выражении (а) положить 
, получим значение устойчивого коэффициента жесткости
Для второго случая (рис. 268, б), приняв начало координат в шарнирной опоре и считая за неизвестные а0 и Qo, пишем два . граничных условия для верхней точки, т. е. что при
1
(б)
Исключив из системы уравнений (б) значение ап и приняв Qo , получим следующее уравнение для критического состояния:
(в)
Из этого уравнения находим критическое значение параметра v для стержня, шарнирно опертого нижним концом и заделанного верхним концом в подвижное защемление, подкрепленное упругой опорой. Ниже приведены таблицы упругих реакций для сжато-изогнутого стержня (табл. 7 и 8).