Моделирование в условиях определенности

Классическим примером простейшей задачи системного анализа в условиях определенности может служить задача производства и поставок товара. Пусть некоторая фирма должна производить и поставлять продукцию клиентам равномерными партиями в количестве N =24000 единиц в год. Срыв поставок недопустим, так как штраф за это можно считать бесконечно большим.

Запускать в производство приходится сразу всю партию, таковы условия технологии. Стоимость хранения единицы продукции C_x=10 копеек в месяц, а стоимость запуска одной партии в производство (независимо от ее объема) составляет C_p =400 гривен.

Таким образом, запускать в год много партий явно невыгодно, но невыгодно и выпустить всего 2 партии в год — слишком велики затраты на хранение! Где же “золотая середина”, сколько партий в год лучше всего выпускать?

Будем строить модель такой системы. Обозначим через n размер партии и найдем количество партий за год — p = N / n 24000 / n.

Получается, что интервал времени между партиями составляет

t = 12 / p (месяцев), а средний запас изделий на складе — n/2 штук.

Сколько же нам будет стоить выпуск партии в n штук за один раз?

Сосчитать нетрудно — 0.1 · 12 · n / 2 гривен на складские расходы в год и 400p гривен за запуск партий по n штук изделий в каждой.

В общем виде годовые затраты составляют

E = Tn / 2 + N / n {3 - 2}

где T = 12 — полное время наблюдения в месяцах.

Перед нами типичная вариационная задача: найти такое n₀, при котором сумма E достигает минимума.

Решение этой задачи найти совсем просто — надо взять производную по n и приравнять эту производную нулю. Это дает

n₀ = , {3 - 3}

что для нашего примера составляет 4000 единиц в одной партии и соответствует интервалу выпуска партий величиной в 2 месяца.

Затраты при этом минимальны и определяются как

E₀ = , {3 - 4}

что для нашего примера составляет 4800 гривен в год.

Сопоставим эту сумму с затратами при выпуске 2000 изделий в партии или выпуске партии один раз в месяц (в духе недобрых традиций социалистического планового хозяйства):

E₁= 0.1·12·2000/2 + 400·24000/ 2000 = 6000 гривен в год.

Комментарии, как говорится, — излишни!

Конечно, так просто решать задачи выработки оптимальных стратегий удается далеко не всегда, даже если речь идет о детерминированных данных для описания жизни системы — ее модели. Существует целый класс задач системного анализа и соответствующих им моделей систем, где речь идет о необходимости минимизировать одну функции многих переменных следующего типа:

E = a₁X₁ + a₂X₂ + ..... a_nX_n {3 - 5}

где X_i — искомые переменные, a_i — соответствующие им коэффициенты или “веса переменных” и при этом имеют место ограничения как на переменные, так и на их веса.

Задачи такого класса достаточно хорошо исследованы в специальном разделе прикладной математики — линейном программировании. Еще в докомпьютерные времена были разработаны алгоритмы поиска экстремумов таких функций E = f(a,X), которые так и назвали — целевыми. Эти алгоритмы или приемы используются и сейчас — служат основой для разработки прикладных компьютерных программ системного анализа.

Системный подход к решению практических задач управления экономикой, особенно для задач со многими десятками сотен или даже тысячами переменных привел к появлению специализированных, типовых направлений как в области теории анализа, так и в практике.

Наиболее “старыми” и, следовательно, наиболее обкатанными являются методы решения специфичных задач, которые давно уже можно называть классическими.

Специалистам в области делового администрирования надо знать эти задачи хотя бы на уровне постановки и, главное, в плане моделирования соответствующих систем.

· Задачи управления запасами

Первые задачи управления запасами были рассмотрены еще в 1915 году — задолго не только до появления компьютеров, но и до употребления термина “кибернетика”. Был обоснован метод решения простейшей задачи — минимизация затрат на заказ и хранение запасов при заданном спросе на данную продукцию и фиксированном уровне цен. Решение — размер оптимальной партии обеспечивало наименьшие суммарные затраты за заданный период времени.

Несколько позже были построены алгоритмы решения задачи управления запасами при более сложных условиях — изменении уровня цен (наличие “скидок за качество” и / или “скидок за количество”); необходимостиучета линейных ограничений на складские мощности и т. п.

· Задачи распределения ресурсов

В этих задачах объектом анализа являются системы, в которых приходится выполнять несколько операций с продукцией (при наличии нескольких способов выполнения этих операций) и, кроме того, не хватает ресурсов или оборудования для выполнения всех этих операций.

Цель системного анализа — найти способ наиболее эффективного выполнения операций с учетом ограничений на ресурсы.

Объединяет все такие задачи метод их решения — метод математического программирования, в частности, — линейного программирования. В самом общем виде задача линейного программирования формулируется так:

требуется обеспечить минимум выражения (целевой функции)

E(X) = C₁X₁ + C₂X₂ + ......+ C_iX_i + ... C_nX_n{3 - 6} при следующих условиях:

все X_i положительны и, кроме того, на все X_i налагаются mограничений (m < n)

A₁₁·X₁ + A₁₂·X₂ + ......+ A_ij·X_j + ... A_1n·X_n = B_1;

.....................................................................................

A_i1·X₁ + A_i2·X₂ + ......+ A_ij·X_j + ... A_in·X_n = B_i; {3 - 7}

.....................................................................................

A_m1·X₁ + A_m2·X₂ + .....+ A_mj·X_j+ ... A_mn·X_n = B_{m .}

Начала теоретического обоснования и разработки практических методов решения задач линейного программирования были положены Д.Данцигом (по другой версии — Л.В.Канторовичем).

Для большинства конкретных приложений универсальным считается т. н. симплекс-метод поиска цели, для него и смежных методов разработаны специальные пакеты прикладных программ (ППП) для компьютеров.

 

3.5 Наличие нескольких целей — многокритериальность системы

Весьма часто этап содержательной постановки задачи системного анализа приводит нас к выводу о наличии нескольких целей функционирования системы. В самом деле, если некоторая экономическая система может иметь “главную цель” — достижение максимальной прибыли, то почти всегда можно наблюдать ситуацию наличия ограничений или условий. Нарушение этих условий либо невозможно (тогда не будет самой системы), либо заведомо приводит к недопустимым последствиям для внешней cреды. Короче говоря, ситуация, когда цель всего одна и достичь ее требуется любой ценой, практически невероятна.

Пусть имеется самая простая ситуация многокритериальности — существуют только две цели системы T₁ и T₂ и только две возможных стратегии S₁, S₂.

Пусть мы как-то оценили эффективность E₁₁ стратегии S₁ по отношению к T₁и эффективность эта оказалась равной 0.4 (по некоторой шкале 0..1). Проделав такую же оценку для всех стратегий и всех целей, мы получили табличку (матрицу эффективностей):

 

Таблица 3.1

E	T1	T2
S1	0.4	0.6
S2	0.7	0.3

Какую же из стратегий считать наилучшей? Пока мы не оговорим значимость каждой из целей, не укажем их веса, — спорить бесполезно! Вот если бы нам было известно, что первая цель, к примеру, в 3 раза важнее второй, то тогда

можно учесть их относительные веса — скажем величинами 0.75 для первой и 0.25 для второй. При таких условиях суммарные эффективности стратегий (по отношению ко всем целям) составят:

для первой E₁ = 0.4 · 0.70 + 0.6 · 0.30 = 0.28 + 0.18 = 0.46;

для второй E₂ = 0.8 · 0.70 + 0.2 · 0.25 = 0.56 + 0.05 = 0.61;

так что ответ на вопрос о выборе стратегии далеко не очевиден.

Итак, критерий эффективности системы при наличии нескольких целей приходится выражать через эффективности отдельных стратегий виде: E_s = S S_t ·U_t {3 - 8}

т. е. учитывать веса отдельных целей U_t.

Если вы внимательно следили за рассуждениями при рассмотрении примера {3-2}, то сейчас можете сообразить, что по сути дела там речь шла о двух целях. С одной стороны, мы хотели бы иметь как можно меньшие партии — их дешевле хранить (мал срок хранения). с другой стороны, нам были желательны большие партии, поскольку при этом меньше затраты на запуск партий в производство. Если бы мы перебирали все 365 возможных стратегий (от смены партии каждый день до одной в год), то, конечно же, нашли бы оптимальную стратегию со сменой партий каждые два месяца. Другое дело, что в нашем распоряжении была аналитическая модель системы (формула суммарных затрат).

Так вот — весовые коэффициенты целей в той модели были равными и мы их могли не замечать при поиске минимума затрат. Ну, а что делать, если “важность” целей приходится измерять не по шкале Int или Rel, т. е. в числовом виде,а по шкалеOrd? Иными словами — откуда берутся весовые коэффициенты целей?

Очень редко весовые коэффициенты определяются однозначно по “физическому смыслу” задачи системного анализа. Чаще же всего их отыскание можно называть “назначением”, “придумыванием”, “предсказанием” — т. е. никак не "научными" действиями.

Иногда, как ни странно это звучит, весовые коэффициенты назначаются путем голосования — явного или тайного. Дело в том, что в ситуациях, когда нет числового метода оценки веса цели, реальным выходом из положения является использование накопленного опыта.

Нередко задает весовые коэффициенты непосредственно ЛПР, но чаще его опыт управления подсказывает: одна голова — хорошо, а много умных голов — куда лучше. Принимается особое решение — использовать метод экспертных оценок..

Суть этого метода достаточно проста. Требуется четко оговорить все цели функционирования системы и предложить группе лиц, высоко компетентных в данной отрасли (экспертов) хотя бы расположить все цели по значимости, по “призовым местам” или, на языке ТССА, по рангам.

Высший ранг (обычно 1) означает наибольшую важность (вес) цели, следующий за ним — несколько меньший вес и т. д. Специальный раздел непараметрической статистики — теория ранговой корреляции, позволяет проверить гипотезы о значимости полученной от экспертов информации. Развитие ранговой корреляции, ее другой раздел, позволяет устанавливать согласие, согласованность мнений экспертов или ранговую конкордацию.

Это особо важно в случаях, когда не только возникла нужда использовать мнения экспертов, но и существует сомнение в их компетентности.