Аксиоматическое построение теории вероятностей

Многие реальные случайные эксперименты не укладываются в рамки дискретной модели с конечным или счётным пространством . Например, в эксперименте с вращающейся рулеткой, угол который определяет положение стрелки после её остановки, может принимать любое значение из промежутка . Таким образом, мы имеем дело с пространством , состоящим из бесконечного или даже несчётного множества точек. Считая, что стрелка вращается в горизонтальной плоскости с очень малым трением, естественно постулировать <<равновозможность>> любого её положения и, следовательно, приписать веем точкам из промежутка одну и ту же вероятность .

Покажем, что если в качестве взять ненулевое число, то получим противоречие с основными свойствами вероятностей. Действительно, пусть событие состоит из точек вида , . По определению, (здесь использовано условие равновероятности событий). Очевидно, что при любом можно взять такое , что , а это противоречит основному свойству вероятности. Из проведенного рассуждения следует, что в случае с рулеткой должно быть равно нулю. Однако тогда мы приходим к <<парадоксу>>: событие возможно, но его вероятность равна нулю. Парадокс этот кажущийся, так как на самом деле данный пример показывает необходимость применения другого, более общего подхода к введению понятия вероятности случайного события, которое работало бы не только в случае дискретного пространства элементарных исходов.

В случае дискретного пространства построение теории состояло из следующих шагов:

 

1) под событием понималось любое подмножество пространства ;

2) вначале вероятности определялись для элементарных исходов как отображение , удовлетворяя условиям

а) и б) , а затем – для сложных событий по формуле

.

В общем случае, когда пространство элементарных событий может быть боле, чем счётным, построение теории вероятностей базируется на подходе, предложенном А.Н. Колмогоровым, идея которого заключается в том, что не все подмножества пространства рассматриваются как события. Предполагается, что события – это некоторые подмножества из , совокупность которых замкнута относительно операций конечного или счётного числа объединений и пересечений. Только этим подмножествам – событиям – ставятся в соответствие числа, называемые вероятностями, причём так, что к ним остаётся применимой частотная интерпретация, а <<дискретный>> подход в рамках общего становится частным случаем. Рассмотрим случай недискретного пространства.

Пусть - произвольное пространство элементарных событий, а - некоторый класс подмножеств множества .

Определение. Алгеброй событий назовём непустую систему подмножеств , удовлетворяющую следующим аксиомам:

1) если подмножество принадлежит (является событием), то дополнение также принадлежит (также является событием);

2) если подмножества и принадлежат (являются событиями), то и объединение принадлежит (также является событием).

Поскольку любую из рассмотренных операций над подмножествами можно получить, используя формулы де Моргана, с помощью только двух операций дополнения и объединения

, ,

пересечение и разность двух событий также будут событиями:

, при любых , . Отсюда следует, что и

. Простейшей системой подмножеств, являющейся алгеброй, является система, состоящая из полного и пустого множеств: . В самом деле, и входят в этот класс, и результатами операций объединения, дополнения и пересечения над этими множествами вновь служат эти множества: . Система всех подмножеств множества , очевидно, является - алгеброй.

Определение. Алгебра событий называется - алгеброй, или борелевской алгеброй, если объединение счётного числа элементов из также является элементом из , т.е. из того, что , следует

.

Таким образом, - алгебру событий можно определить как систему подмножеств пространства элементарных исходов , замкнутую относительно счётного числа теоретико-множественных операций. Тривиальная

- алгебра событий состоит из полного и пустого множеств . Любая - алгебра событий является одновременно и алгеброй событий. Обратное неверно, т.е. существуют алгебры событий, не являющиеся - алгебрами. Элементы - алгебры называются случайными событиями. Под операциями над случайными событиями понимают операции над соответствующими множествами.

Примером - алгебры служит класс из четырёх событий . Действительно,

.

 

Определение. Вероятностью события или вероятностной мерой называется числовая функция, заданная на - алгебре событий , которая каждому событию ставит в соответствие число так, что выполняются следующие четыре аксиомы:

1. для любого (аксиома неотрицательности);

2. (аксиома нормированности);

3. для любых , (аксиома конечной аддитивности).

4. , если , для любых , для любого (аксиома счётной аддитивности).

Тройку чисел , в которой - пространство элементарных событий, - - алгебра некоторых подмножеств из (не обязательно всех),

- вероятностная мера, определённая на - алгебре и удовлетворяющая аксиомам - , называют вероятностным пространством.

Из аксиом - вытекают основные свойства вероятности.

1. (вероятность невозможного события).

2. Для любого события справедливо неравенство .

3. (вероятность дополнительного события), так как .

4. Если , то . Действительно, так как , то по теореме сложения несовместимых событий , и из аксиомы неотрицательности следует сделанное утверждение.

5. (вероятность объединения двух событий). Действительно, так как и , то из аксиомы сложения , . Отсюда при получается нужное доказательство.

6. В силу неотрицательности имеем .

7. Свойство 5 допускает очевидное обобщение для случая произвольного числа слагаемых:

 

 

Свойство 7 доказывается методом математической индукции по .

8. Для любого числа попарно непересекающихся событий имеет место формула

.

Вероятность , определённая на - алгебре , называется распределением вероятностей на пространстве элементарных событий .