Элементарных событий.

Определение. Говорят, что в пространстве элементарных событий, конечном или счётном , задана вероятность, если каждому элементарному событию поставлено в соответствие неотрицательное число

и сумма (конечная или бесконечная) вероятностей всех элементарных исходов равна единице: , т.е. вероятность события – это числовая функция, определённая на пространстве элементарных событий.

Определение. Вероятностью события называется сумма вероятностей всех элементарных исходов, входящих в , т.е. , таким образом:

1) если - если пространство элементарных событий, то ;

2) вероятность события удовлетворяет неравенству .

Теорема 1 . (теорема сложения вероятностей несовместных событий). Вероятность объединения двух несовместных событий равна сумме их вероятностей, т. е. если , то .

Доказательство. Проведём его для случая конечного числа исходов. Пусть пространство элементарных событий содержит элементарных исходов, из благоприятны событию и благоприятны событию , т.е. и , причём нет исходов, одновременно благоприятных и . Отсюда следует, что событию благоприятны элементарных исхода, и вероятность этого события вычисляется по формуле

.

Теорема доказана.

Доказательство можно перенести на случай счётного пространства , когда вместо конечных сумм рассматриваются суммы со счётным числом слагаемых – сходящиеся ряды.

Следствия.

1. Теорему 1 можно распространить на любое конечное число слагаемых, если все события попарно несовместны:

.

2. , так как , то .

3. Если , то .

Теорема 2. (теорема сложения вероятностей событий). Если события ипересекаются: , то

,

где - подмножества пространства элементарных событий.

Доказательство. Если и - совместные события, то наступит тогда, когда наступит одно из несовместных событий , или . Согласно теореме сложения несовместных событий, имеем

.

Событие наступит, если наступит одно из несовместных событий или .

Тогда вероятность события равна .

Событие наступит, если наступит одно из несовместных событий или .

Тогда вероятность события равна . Отсюда получаем доказательство теоремы:

.

Следствие.

1. Вероятность пересечения двух событий вычисляется по формуле

.

2. Вероятность суммы любого числа совместных событий вычисляется по формуле

.

3. Из теорем 1 и 2 для любых событий и следует

.