Формула полной вероятности. Формула Байеса

Можно вывести формулы, позволяющие вычислять вероятности сложных событий, пользуясь знанием условных и безусловных вероятностей других более простых событий.

Пусть событие может произойти с одним из событий , образующих полную группу попарно несовместимых событий.

События называются гипотезами.

Теорема (формула полных вероятностей). Пусть событие может произойти при условии появления одной из гипотез . Тогда вероятность появления события равна сумме произведения вероятностей гипотез на условные вероятности события при каждой гипотезе :

(5)

Формула (5) называется формулой полной вероятности.

Доказательство. Поскольку гипотезы , попарно несовместны, то попарно несовместны и их произведения с событием , т.е. несовместны пересечения и при . Обозначим . Поскольку

образуют полную группу событий, то событие - достоверное, и его вероятность равна единице: . Из теоремы сложения с учётом свойств событий , и - достоверное событие, получаем

.

Подставим в предыдущую формулу значение .

.

Один из дистрибутивных законов выглядит так

.

Положим в последней формуле и

.

Далее полагая в формуле , запишем . С учётом сказанного запишем и

. Таким образом, дистрибутивный закон можно записать в виде

.

 

Закон дистрибутивности для случая трёх множеств было доказан ранее. Это доказательство можно обобщить на случай множеств больше чем , например . Поэтому мы можем записать

 

.

Таким образом, формула доказана.

Применим для каждого слагаемого последней формулы теорему умножения вероятностей

(6)

Теорема доказана.

Теорема (формула Байеса).Пусть - полная группа попарно несовместимых событий и - произвольное событие, которое может произойти с одним из них. Тогда для каждого справедливо равенство

(7)

Формула (6) называется формулой Байеса.

Доказательство. По определению условной вероятности,

,

где может быть найдена с помощью теоремы умножения, а находится по формуле полных вероятностей. Теорема доказана.

Формула Байеса позволяет производить пересчёт вероятностей гипотез с учётом того, что событие произошло: если до эксперимента вероятности гипотез были равны , то после того, как стало известно, что опыт закончился наступлением события , вероятности этих гипотез изменились и стали равными .

Задача. Фирма имеет три источника поставки комплектующих - фирмы . На долю фирмы приходится 50% общего объёма поставок,

- 30% и - 20%. Из практики известно, что 10% поставляемых фирмой деталей – бракованные, фирмой - 5% и фирмой - 6%. Какова вероятность того, что взятая наугад и оказавшаяся бракованной деталь получена от фирмы ?

Решение. Пусть событие - появление бракованной детали. Вероятности гипотез о том, что деталь поставлена фирмами , по условию задачи равны . Условные вероятности появления при этом бракованной детали будут (по условию)

.

По формуле Байеса имеем

.

По формуле полных вероятностей представим в виде

.

Далее

,

 

.

.

Сложные события, представляющие собой серию опытов и комбинаций всех возможных исходов, можно представить с помощью <<дерева вероятностей>>, на котором отражаются последовательность экспериментов и их результаты. Опыты представлены последовательностью кружков, а каждый исход - <<ветвью>> (линией) от соответствующего кружка. Вероятность соответствующего исхода указана около <<ветви>>, а вероятность всего сложного события – в её конце:

.

 

годная (0,9)

брак (0,1)

годная (0,95)

 

 

брак (0,05)

годная (0,94)

брак (0,06)

 

Задача. На двух станках выпускаются детали, которые поступают на склад, где они перемешиваются. Вероятность брака для первого станка составляет , для второго - . Первым станком выпускается 60% всех деталей. Какова вероятность при случайном извлечении детали со склада получить бракованную деталь, и какой ущерб будет понесён из-за второго станка?

Решение. Обозначим - деталь с первого станка, - деталь со второго станка, и . Событие - это появление бракованной детали. Условные вероятности события равны

.

Отсюда

.

Ущерб за счёт второго станка моно подсчитать по формуле

,

или 57% от общего убытка.