Векторний та скалярний потенціали. Вектор Герца

(5.25)

то отримуємо рівняння відносно векторного потенціалу :

(5.26)

Аналогічне рівняння можна отримати для скалярного потенціалу . Для цього необхідно підставити вираз для вектору з (5.21) в третє рівняння Максвела в (5.18):

або

(5.27)

Використовуючи умову калібровки (5.25) і тотожність , приходимо до рівняння для скалярного потенціалу :

(5.28)

Таким чином, векторний і скалярний потенціали, як і вектори і задовольняють неоднорідним рівнянням Гельмгольца. Однак праві частини рівнянь для потенціалів (5.26) і (5.28) мають більш простий вигляд.

Умова калібровки (5.25) дозволяє виразити скалярну функцію через векторний потенціал :

(5.29)

Щоб встановити зв’язок поля з джерелом випромінювання, необхідно розв’язати рівняння (5.26) і (5.28). Найдемо частині розв’язки, вважаючи функції і відомими в деякому об’ємі .

Згідно методу комплексних амплітуд множення на величину еквівалентне диференціюванню за часом , то рівняння (5.26) і (5.28) можна переписати у вигляді:

(5.30)

(5.31)

Щоб знайти розв’язок (5.30) і (5.31) необхідно розглянути більш просту задачу доля статичного випадку. Будемо вважати, що , а , аналогічно , . Хвильові рівняння (5.30) і (5.31) вироджуються в рівняння Пуассона [3]:

(5.32)

(5.33)

Розв’язки цих рівнянь детально приведені в [3]. Тут скористаємося кінцевим результатом:

(5.34)

Цими формулами можна користуватися при квазістационарних процесах тобто процесах, які повільно змінюються за часом. Якщо і швидко змінюються, то необхідно враховувати запізнювання процесу при розповсюджені. Поле в точці спостереження М буде визначатися не за значенням і в даний момент часу а більш ранніми значеннями і , де , тобто це час, за який поле розповсюдилось від джерела до точки спостереження. Якщо опустити суворе доведення розв’язку, з яким можна детально ознайомитися в [3], то розв’язки можна визначити як

(5.35)

де і зв’язані рівнянням неперервності:

Формули (5.35) називаються запізнювальними потенціалами.