Преобразование колебаний в параметрических и нелинейных цепях

В системах электрической связи применяются различные преобразования сигналов. Одним из важнейших преобразований является модуляция – изменение параметров несущей (переносчика сообщений) по закону первичного сигнала. Проходя от модулятора передатчика до детектора (демодулятора) приемника, сигнал u(t) (см. рис. 1.2) подвергается различным преобразованиям и превращается в сигнал z(t)=s(u, t)+n(t). Преобразование сигналов в модуляторе и детекторе связано с трансформацией спектра входного сигнала, т. е. появлением в выходном сигнале частотных составляющих которых не было на входе.

Линейные системы с постоянными параметрами (стационарные) не могут трансформировать спектр входного сигнала. Для трансформации спектра можно использовать или линейную систему с переменными параметрами – параметрическую,или нелинейную систему. Ограничимся анализом параметрической системы нулевого порядка (без реактивных элементов) и нелинейной системой нулевого порядка.

Пусть входное напряжение параметрической системы (рис. 3.1) меняется по гармоническому закону u₁(t)=U₁·cos(ω₁t+φ₁), а параметрическая проводимость (крутизна характеристики) меняется по гармоническому закону с частотой управления f_у:

s(t)=S₀+S₁·cos(ω_уt+φ_у).

 

По закону Ома ток в цепи (рис. 3.1) будет равен:

i(t)= u₁(t)· s(t)=U₁· S₀·cos(ω₁t+φ₁)+ U₁·S₁·cos(ω₁t+φ₁)· cos(ω_уt+φ_у). (3.1)

Воспользовавшись известной из тригонометрии формулой cosα·cosβ=0,5·cos(α+β)+ 0,5·cos(α-β), получаем:

i(t)=U₁· S₀·cos(ω₁t+φ₁)+0,5·U₁·S₁·cos[(ω₁+ω_у)·t+φ₁+φ_у]+ 0,5·U₁·S₁·cos[(ω₁-ω_у)·t+φ₁-φ_у]. (3.2)

Таким образом, выходной сигнал (ток) содержит компоненты на частотах ω₁+ω_у, которых нет во входном сигнале, т. е. произошла трансформация спектра входного сигнала. Необходимые (полезные для решения тех или иных задач) частотные составляющие тока i(t) выделяются с помощью линейной фильтрации.

На практике параметрический резистивный элемент R(t) получают путем внешнего управления нелинейным сопротивлением. Рассмотрим нелинейный резистивный двухполюсник с вольтамперной характеристикой (ВАХ) i=f(u), на который действуют два напряжения: сигнала u₁(t) и управления u₂(t) (рис.3.2). Ток в цепи определим как i=f(u₁+ u₂). Предположим, что сигнал управления существенно превышает входной сигнал, т. е. |u₂| >> |u₁|. Разлагая ток в ряд Тейлора по малому сигналу u₁ и удерживая два члена ряда, получим:

(3.3)

 

Обозначим через - дифференциальная крутизнанелинейного резистора в точке u= u₂. Тогда сигнальная составляющая тока будет равна:

i_c(t) = s`[u₂(t)]u₁(t). (3.4)

Следовательно, таким образом можно реализовать цепь с параметрическим сопротивлением R`(u<sub>2</sub>)=1/s`u₂(t). Аналогично можно реализовать цепь с параметрической емкостью и параметрической индуктивностью [1, с. 84].

Согнасно выражению (3.4) параметрический резистивный (безынерционный) элемент можно представить как перемножитель входного u_вх(t) и управляющего f_у(t), как показано на рис. 3.3.

Вольтамперную характеристику нелинейного сопротивления R(i) очень часто аппроксимируют (относительно рабочей точки, определяемой напряжением смещения Е) (см. рис. 3.4) в общем случае полиномом n-й степени (полиномиальная аппроксимация)

i=a₀+a₁(u-E)+a₂(u-E)²+a₃(u-E)³+…+a_n(u-E)ⁿ . (3.5)

Чем выше степень полинома, тем точнее можно описать ВАХ i=f(u). При малых переменных входных напряжениях можно ограничиться квадратичной аппроксимацией. Необходимо отметить, что если входное переменное напряжение настолько мало, что можно i ограничить линейной аппроксимацией, т. е. i = a₀+a₁(u-E), то трансформация спектра входного сигнала невозможна. Предоложим, что u = E+u₁=E + U₁·cos(ω₁t+φ₁) (см. рис. 3.4,б). Тогда, воспользовавшись формулами кратного аргумента cos²a=(1+cos2a)/2; cos³a=(3соsa+cos3a)/4; cos⁴a=(3+4cos2a+cos4a)/8 и т. д., получим для тока i:

i=I₀+I₁cos(ω₁t+φ₁)+I₂cos(2ω₁t+2φ₁)+I₃cos(3ω₁t+3φ₁)+… (3.6)

здесь - постоянная составляющая тока;

- амплитуда 1-й гармоники;

- амплитуда 2-й гармоники;

- амплитуда 3-й гармоники и т. д.

При бигармоническом воздействии, т. е. если u=E+u₁+u₂=E+U₁·cos(ω₁t+φ₁)+U₂·cos(ω₂t+φ₂) в составе тока i получаются колебания с комбинационными частотами [1].

Очень часто при исследовании схем с нелинейными элементами при гармонических воздействиях с большими амплитудами ВАХ нелинейного элемента аппроксимируют отрезками прямых линий –кусочнолинейная аппроксимация(КЛА) – см. рис. 3.5.

Зависимость i=f(u) в этом случае можно записать так

0 при u < V_отс,

i = (3.7)

s(u - V_отс) при u Ê V_отс .

где u=E+Ucosωt , Е – напряжение смещения, определяющее рабочую точку; V_отс – напряжение отсечки.

График тока i имеет вид косинусоидальных импульсов с углом отсечки Q, определяемым из - выражения

cos Q = (V_отс-E)/U. (3.8)

Угол отсечки может принимать значения от нуля (ток не проходит) до p (линейный режим работы схемы). При E=V_отс, Q=p/2 (проходят положительные полуволны входного сигнала).

Постоянная составляющая тока i определяется по формуле .

Вводя безразмерную переменную х=ωt , получим

Вводя коэффициент , который называется коэффициентом Берга [1] для постоянной составляющей, можно написать:

(3.9)

С учетом (3.7) и (3.8) получаем формулу для определения максимального значения тока:

i_max= S(E-U-V_отс)= SU(1-cosQ) (3.10)

Tогда I₀= i_maxa₀(Q), (3.11)

где a₀(Q)=.

Если в ходе исследований фиксируются величины U, S и Q, то для расчетов используется формула (3.9); если фиксируются i_max и Q - используется (3.11).

Аналогично находим амплитуду 1-й гармоники тока:

, (3.12)

где

Для n-ой гармоники тока имеем:

, (3.13)

где - коэффициенты Берга для n-й гармоники (n=2, 3, … ).

Для часто используемого режима Q=p/2 имеем g₀(p/2)=a₀(p/2)=1/p, g₁(p/2)=a₁(p/2)=1/2.