Лекция 1. Вещественные числа. Ответ : это либо не рыжие хорошисты, не занимающиеся спортом, либо рыжие троечники не занимающиеся спортом

Лекция 1. Вещественные числа.

П.1 Множества.

Объединение множеств.

 

Пересечение множеств

 

 

Разность множеств.

 

 

Симметрическая разность.

 

Отрицание множеств.

.

 

ПРИМЕР 1. А – множество студентов, сдавших физику и математику на оценку 4 или 5. В – множество студентов с рыжими волосами. С – множество студентов, занимающихся спортом. Какие студенты входят в множество

?

Ответ : это либо не рыжие хорошисты, не занимающиеся спортом, либо рыжие троечники не занимающиеся спортом.

Алгебра множеств (примеры).

1) . 2)

3)

 

ПРИМЕР 2. Доказать, что

.

ДОК.

.

.

П.2. Вещественные числа.( множество R )

Аксиомы вещественных чисел.

1. Аксиомы сложения. В множестве вещественных чисел определена операция сложения, т.е.

определено вещественное число

, причем эта операция удовлетворяет условиям:

1.1 существует нуль, т.е.такой элемент

, для которого

.

1.2 существует «противоположный» элемент :

.

1.3 «правило расстановки скобок»:

.

1.4 коммутативность :

.

2. Аксиомы умножения. Во множестве вещественных чисел определена операция умножения, т.е.

определено вещественное число

, причем эта операция удовлетворяет условиям :

2.1 существует единица, т.е. такой элемент

, для которого

.

2.2 для каждого

существует «обратный» элемент

, для которого

.

2.3 «правило расстановки скобок» :

.

2.4 коммутативность :

 

3. Аксиомы сложения и умножения.

3.1 правило раскрытия скобок :

 

4. Аксиомы порядка.

Во множестве действительных чисел определено отношение порядка

, т.е. для каждой пары

справедливо одно из высказываний : или

, при этом это отношение удовлетворяет условиям :

4.1

 

4.2 Если и

, то

.

4.3 Если и

, то

.

4.4 Если

, то

.

4.5 Если

и

, то

 

5. Аксиома полноты.

5.1 Пусть X,Y и Z подмножества R такие, что

и

, причем

и

справедливо высказывание

. Тогда

, для которого

для любых

 

Множество , содержащее более двух элементов, с введенными операциями сложения и умножения, удовлетворяющими аксиомам 1-5 ,называется множеством вещественных чисел, а его элементы – вещественными (или действительными) числами.

СЛЕДСТВИЯ из аксиом.

Сл1. Единственность нуля.

Док. Если нуля два,

, то

.

Сл2.

.

Док.

.

Сл3.

 

Док.

, т.е.

.

Сл4.

 

Док.

, т.е.

.

П.3 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и действия с ними.

Обобщение понятия числа возможно на пути включения вещественных чисел в более обширное множество, в котором некоторые аксиомы вещественных чисел (4-5) не выполняются. В этом множестве должны быть введены операции (сложение, умножение, деление) так, что их сужение на множество вещественных чисел сохраняло смысл аналогичной операции в R.

ОПР. Комплексным числом z называют пару вещественных чисел :

. Число a –называют вещественной , а b - мнимой часть комплексного числа z . Если мнимая часть равна нулю, то комплексное число

называют вещественным или действительным. Его отождествляют с вещественным числом

. Если вещественная часть комплексного числа равна нулю, то число называют чисто мнимым.

В качестве примера чисто мнимого числа рассмотрим число

, называемое мнимой единицей. Два комплексных числа равны, если у них равны вещественные и мнимые части. Отношение порядка для комплексных чисел не определены: нельзя сказать, что одно комплексное число больше или меньше другого комплексного числа. Например, высказывание о том, что комплексное число положительно, имеет смысл только в том случае, если оно вещественное положительное число.

ОПР. Операция сложения двух комплексных чисел

и

определена так :

, т.е. складываются вещественные и мнимые части комплексного числа.

ОПР. Операция умножения двух комплексных чисел

и

определена так:

.

ОПР. Операция деления двух комплексных чисел

и

определена так:

.

СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ.

1. Если во всех операциях участвуют комплексные числа с нулевой мнимой частью, т.е. действительные числа, то их действия сводятся к аналогичным операциям в R.

2. Введенные операции сложения, умножения и деления удовлетворяют аксиомам 1-3.

Действительно, роль нуля в аксиоме 1.1 играет 0=(0,0). Противоположным элементом для

является число

. Легко проверяется для сложения правило расстановки скобок и коммутативность сложения. Единицей в аксиоме 2.1 является число (1,0) – вещественная единица:

.

Комплексное число

- обратный элемент к

, поскольку

.

Проверим правило расстановки скобок в аксиоме 2.3 умножения:

.

Аналогично,

.

Если внимательно посмотреть на вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел, то легко заметить, что они равны друг другу и

.

УПРАЖНЕНИЕ. Проверьте выполнение аксиом 2.4 и 3.1.

УПРАЖНЕНИЕ. Проверьте, что если

вещественное число, то

 

ПРИМЕР 2. Проверим, что

.

РЕШЕНИЕ.

.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ интерпретация комплексного числа.

Если на плоскости ХОУ рассмотрена декартовая система координат, то любому комплексному числу

соответствует точка на плоскости с координатами и вектор с началом в точке (0,0) и концом в точке

. Вещественным числам соответствуют точки на оси ОХ. Операции сложения комплексных чисел соответствует сложение векторов на плоскости, умножению комплексного числа

на вещественное число - умножение вектора на

.

ОПР. Модулем комплексного числа

называют число

.

Модуль комплексного числа – это длина соответствующего ему вектора на плоскости ХОУ.

ОПР. Аргументом комплексного числа

, обозначение

, называют угол , который образует соответствующий ему вектор с положительным направлением оси ОХ. Принято считать,

.

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФОРМА комплексного числа.

Комплексное число можно представить в виде

Она называется алгебраической формой. Здесь a и b – вещественная и мнимые части комплексного числа, а i - мнимая единица. Эта форма удобна для выполнения операций над комплексными числами в виде преобразования алгебраических выражений с дополнительным условием:

.

ПРИМЕР 3. Вычислить

.

РЕШЕНИЕ.

.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА комплексного числа.

Если

, то

и

.

Тогда комплексное число можно представить в форме:

 

которая называется тригонометрической формой комплексного числа

.Проследим за умножением комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме:

 

.

Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. В частности,

.

КОРЕНЬ степени n из комплексного числа.

ОПР. Комплексное число

называется корнем степени n из комплексного числа

, если

.

ТЕОРЕМА. Существует ровно n значений корня степени n из комплексного числа

.

Все они имеют одинаковый модуль, равный

, и аргументы ,вычисляемые по формуле:

,

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

,

,

 

ПРИМЕР 4. Вычислить

.

РЕШЕНИЕ.

.

.

,

,

.

УПРАЖНЕНИЕ. Докажите, что для решения квадратного уравнения

с произвольными комплексными коэффициентами, справедлива формула:

, где корень вычисляется из комплексного числа.

П 4. Отображения множеств.

Пусть X и Y два множества, принадлежащие R. Функцией

, определенной на множестве X и принимающей значения в множестве Y, называют закон (правило), по которому каждому

сопоставляется единственное число

. Таким образом,

с функцией всегда связаны три объекта

: X – область определения, f – правило отображения, Y – область значения. Две функции, у которых хотя бы один элемент тройки различен, считаются разными. Например, функции

и

различные, поскольку у них разные области определения. Если

, то функция

называется сужением функции

на множество A.

Функция

называется сюръекцией, если

, и инъекцией, если каждое значение

принимается функцией

только в одной точке

, т.е. из равенства

.

Если функция

одновременно сюрьективна и инъективна, то она называется биекцией.

Множество

называется прообразом множества

при отображении

.

Если функция

биекция, то на множестве Y определена функция

, для которой

и

. Она называется обратной функцией к f.

ПРИМЕР 3

.

Функция

- обратная.

ПРИМЕР 4.Функция

, по правилу

, сюръективна.

ПРИМЕР 5. Функция

, по правилу

, биективна и функция

обратная.

ВОПРОСЫ к ЭКЗАМЕНУ.

1) Множества, операции над множествами, примеры.

2) Аксиомы вещественных чисел и их следствия.

3) Комплексные числа, действия с ними в алгебраической и тригонометрической формах.

4) Корень степени n из комплексного числа.

5) Отображения множеств. Сюръективные, инъективные и биективные функции. Обратная функция. Примеры.

 

Лекция 2. Множество вещественных чисел (продолжение).

. ОПР. Числовое множество Х называют ограниченным снизу, если найдется число m, для которого . ОПР. Числовое множество Х называют ограниченным , если найдутся… .

Лекция 3. Последовательности, предел последовательности.

. Последовательность может задаваться явно, например, (1) …   и рекуррентно, например, (5)

Лекция 5. Предел функции.

. ОПР.(ГЕЙНЕ) Число А называется пределом функции в точке , обозначение ,…   Множество V на числовой оси называется открытым, если … . Любое открытое множество V(a), содержащее точку a , называют окрестностью точки a . ОПР.(ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ)…

Лекция 7. Непрерывные функции.

. ОПР. (эквивалентное).Функция непрерывна в точке , если ее приращение D -… . (здесь )

Лекция 8 . Монотонные функции. Производная.

, если     . ОПР. Функция : … , если    

Лекция 9 . Производная функции 2.

ТЕОРЕМА 1.(производная обратной функции) Пусть непрерывная, строго монотонная (возрастающая или убывающая) функция… и   . ДОК.

Лекция 10 . Теоремы о среднем для производных.

, то говорят о строгом локальном максимуме. ОПР. Точка называется точкой локального минимума функции … локальный минимум или локальный максимум, то говорят о локальном экстремуме… ПРИМЕР 1.(не характерный) Функция имеет, по определению, в точке …

Лекция 11 . Формула Тейлора.

ОПР. Производной второго порядка называют производную от функции первой производной. В общем случае,   . ПРИМЕРЫ Доказать, что (1) (2)

Лекция 13. Исследование функции, график функции.

. ОПР. Функция в точке называется выпуклой (вверх), если выражение   ОПР. Функция называется выпуклой (вниз… , если она выпукла (вниз или вверх) в каждой точке этого интервала.

Лекция 12 . Формула Тейлора 2.

ТЕОРЕМА 1. (обобщенная теорема Коши) Пусть даны функции , , определенные на отрезке ,… , причем 1) (производные в точке a правые) 2)

Лекция 13. Исследование функции, график функции.

. ОПР. Функция в точке называется выпуклой (вверх), если выражение   ОПР. Функция называется выпуклой (вниз… , если она выпукла (вниз или вверх) в каждой точке этого интервала.